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標題: 114中崙第二次 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-7-10 12:36 標題: 114中崙第二次

第二次

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作者: Superconan 時間: 2025-7-10 13:25

填充第 10 題
請問題目是否要把 1 改成 -1 才能算出正確答案？

補充：已解決。
如果三角形ABC的頂點是順時針排列，就可以製造出符合題意的多邊形，並算出面積。

[ 本帖最後由 Superconan 於 2025-7-10 14:21 編輯 ]

作者: bugmens 時間: 2025-7-10 16:27

一、填充題
1.
下圖是一個直徑為10的半圓，圖中每條線段都互相平行，且距離為1，則鋪色區域繞\(x\)軸旋轉體體積為　　　。

7.
已知\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{1}{x-2y}+\frac{2}{y-2z}+\frac{3}{z-2x}=-2\cr \frac{2}{x-2y}+\frac{3}{y-2z}+\frac{1}{z-2x}=-3\cr \frac{3}{x-2y}+\frac{2}{y-2z}+\frac{1}{z-2x}=-4}\)，則\(x+y+z=\)　　　。

11.
三角形\(ABC\)中，\(R\)為其外接圓半徑、\(r\)為其內切圓半徑，則\(\displaystyle \frac{R}{r}\)的最小值為　　　。
歐拉不等式的另證https://www.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d454/45407.pdf

二、計算證明題
1.
(1)若整數\(n\)滿足\(n^3-13n-9\)為質數，則\(n\)的值為多少？
(2)承上題，請證明你的答案是正確的。

作者: mojary 時間: 2025-7-11 07:29 標題: 請教

請教填充第十題
謝謝。

[ 本帖最後由 mojary 於 2025-7-11 11:24 編輯 ]

作者: comefood 時間: 2025-7-11 12:25 標題: 回覆 4# mojary 的帖子

抱歉排版有點亂，請見諒

[ 本帖最後由 comefood 於 2025-7-11 12:30 編輯 ]

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作者: tsusy 時間: 2025-7-11 16:21 標題: 回覆 4# mojary 的帖子

填充10.
已知的行列式相加，透過補項，可以寫出 \( \triangle ABC \) (有號)面積

\( \begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
b_{1} & b_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{1} & b_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
d_{1} & d_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}d_{1} & d_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix} \)

\( = \begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
b_{1} & b_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{1} & b_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\left(\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}\right)+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
d_{1} & d_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}d_{1} & d_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix} \)

\( = \left(\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
b_{1} & b_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{1} & b_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix}\right)+\left(\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
d_{1} & d_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}d_{1} & d_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix}\right)=2\triangle ABC + 2\triangle ACD \)
ABC、ACD 順逆相反，上式的有號面積，一個正、一個負

再從向量的式子，換成圖形上長度關係(分點公式、係數積)
會有 \( |\triangle ACD| = 5 \times \frac35 |\triangle ABC| = 2 |\triangle ABC| \)

故 \( 4|\triangle ABC| = 1 \Rightarrow |\triangle ABC| = \frac14 \)

作者: peter0210 時間: 2025-7-13 08:48

填10

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作者: acolytej 時間: 2025-7-15 12:21

想請教計算証明題第2小題，謝謝

作者: thepiano 時間: 2025-7-15 13:00 標題: 回覆 8# acolytej 的帖子

計算證明 (2)
n^3 - 13n - 9
= n(n - 1)(n + 1) - 6(2n + 2) + 3 為 3 的倍數
除了 3 以外，它一定不是質數

解 n^3 - 13n - 9 = 3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-7-15 13:04 編輯 ]

作者: duncan0804 時間: 2025-7-24 11:59

想請教填充3.6

謝謝老師

作者: weiye 時間: 2025-7-24 13:18 標題: 回覆 10# duncan0804 的帖子

填充第 3 題：

將 \(\displaystyle y=b\cdot a^x\) 的圖形沿水平方向往右平移 \(2\) 單位，再對 \(x\) 軸鉛直伸縮 \(3\) 倍後，得 \(\displaystyle y=3b\cdot a^{x-2}\)，

因此 \(\displaystyle b\cdot a^x = 3b\cdot a^{x-2}\)，又 \(a>0\) 且 \(b>0\)，得 \(\displaystyle a=\sqrt{3}\)。

將 \(y=b\cdot a^x\) 的圖形對 \(y\) 軸水平伸縮 \(3\) 倍，再沿水平方向往右平移 \(2\) 單位後，得 \(\displaystyle y=b\cdot a^{\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-2\right)}\)，

因此 \(\displaystyle \left(b\cdot a^{\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-2\right)}\right)^3 = b\cdot a^x\)，又 \(a>0\) 且 \(b>0\)，得 \(\displaystyle b=a=\sqrt{3}\)。

因此 \(\displaystyle f(x) = \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{3}\right)^x\Rightarrow f(x)= \left(\sqrt{3}\right)^{x+1}\)，

得 \(\displaystyle f^{-1}(x) = -1+\log_{\sqrt{3}}x\Rightarrow f^{-1}(x) = -1+\frac{2}{\log3}\cdot\log x\)。

故數對 \(\displaystyle (r,s) = (-1, \frac{2}{\log3})\)

作者: weiye 時間: 2025-7-24 13:33 標題: 回覆 10# duncan0804 的帖子

填充第 6 題：

不失一般性，設 \(\displaystyle \Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 且 \(P\left(a\cos\theta, b\sin\theta\right)\)，

因為 \(\Gamma\) 的面積 \(=\pi a b=5 \pi\)，所以 \(ab=5\)。

因為 \(\displaystyle \overline{PQ}:\overline{PR}=b^2:a^2\)，所以 \(\displaystyle \left|b\sin\theta\right|:\left|a\cos\theta\right|=b^2:a^2\Rightarrow |\sin\theta|:|\cos\theta| = b:a\Rightarrow \sin^2\theta:\cos^2\theta = b^2:a^2\)，

又 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1\)，得 \(\displaystyle \sin^2\theta = \frac{b^2}{a^2+b^2}\) 且 \(\displaystyle \cos^2\theta = \frac{a^2}{a^2+b^2}\)。

因為 \(\overline{QR}=\sqrt{6}\)，所以 \(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta = 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow a^2\cdot \frac{a^2}{a^2+b^2}+b^2\cdot \frac{b^2}{a^2+b^2} = 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}= 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow a^4+b^4= 6\left(a^2+b^2\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2= 6\left(a^2+b^2\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a^2+b^2\right)^2-50= 6\left(a^2+b^2\right)\)

解得 \(a^2+b^2= 3\pm\sqrt{59}\)，負不合，

故 \(a^2+b^2= 3+\sqrt{59}\)。

作者: Superconan 時間: 2025-7-26 13:27

請教計算證明第 1(1) 題

作者: weiye 時間: 2025-7-26 16:29 標題: 回覆 13# Superconan 的帖子

計算證明第 1(1) 題：

因為對於任意整數 n 而言，
n^3−13n−9= n^3-n -12n -9
= (n-1)n(n+1) - 12n -9 恆為 3 的倍數，

所以若 n^3−13n−9 為質數，
則此質數只能是 3。

n^3−13n−9=3
→ n^3 -13n -12 =0
→ (n-4)(n+1)(n+3) =0
→ n = 4, -1 或 -3。

作者: Superconan 時間: 2025-7-26 17:59 標題: 回覆 14# weiye 的帖子

謝謝老師，想請問第 1(1) 小題如果是這樣寫，感覺就證明結束了，那第 1(2) 小題該怎麼寫？

作者: weiye 時間: 2025-7-26 20:08 標題: 回覆 15# Superconan 的帖子

我也覺得上面寫的 1(1) 就夠完整了，如果硬要畫蛇添足寫 1(2) ，那我可能會就鬼打牆的繼續寫：

① 把 n = 4, -1, -3 代入 n^3 -13n -9 ，計算結果皆為 3，為質數。

② 若 n 非 4, -1 或 3，因為 n^3 -13n -9 經分解可為 3 的倍數且其值亦非 3「因 n^3 -13n -9 =3 僅有 4, -1, -3 三根」，可知 n^3 -13n -9 必非質數（可能為合數或負數）。

由 ①②，得證「對於整數 n 而言，若 n^3 -13n-9 為質數，則 n = 4, -1 或 3。」

作者: Superconan 時間: 2025-7-27 01:02 標題: 回覆 16# weiye 的帖子

原來如此！謝謝老師！！

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