標題: 114金門高中 [打印本頁]

---

作者: kobelian    時間: 2025-6-21 16:53     標題: 114金門高中

114金門高中

附件: 114學年教甄數學科-(題目卷).pdf (2025-6-21 16:53, 285 KB) / 該附件被下載次數 1216
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7620&k=60761dcdf270eaa51eab57862c846660&t=1769608046

附件: 114學年教甄數學科-(參考解答).pdf (2025-6-21 16:53, 621.99 KB) / 該附件被下載次數 1172
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7621&k=3f52154aee9c9b5fcbf3d4f05ea1eb1e&t=1769608046

---

作者: bugmens    時間: 2025-6-21 17:53

2.
有100扇門，分別編號1~100號，一開始全部都是關閉，被按第一次為開，第二次為關，第三次為開…依此類推(也就是按奇數次為開、偶數次為關)，編號1~100號同學(只有6號沒來)，每人將自己編號的倍數按一次，例如:1號同學將全部的門都按1次，2號同學會將2、4、6、8、…、100的門都按1次。請問這100扇門最後有　　　扇門是打開的。
(類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=804&page=1#pid1531)

3.
已知三角形\(A_1B_1C_1\)是面積為1的任意三角形，如圖所示，對每個自然數\(n\)，連接三角形\(A_nB_nC_n\)各邊對應三等分點與頂點之連線，可圍成一個新三角形\(A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}\)。令\(a_n\)表示三角形\(A_nB_nC_n\)的面積，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\)　　　。
(類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128)
[提示]
\(\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{1}{7}\)


5.
試求\(x^{114}+2025\)除以\((x-1)^2\)之餘式為　　　。

設\(x^5\)除以\((x-1)^3\)得餘式為\(g(x)\)，求\(g(2)\)之值=？
(98全國高中聯招，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teacher ... b7f97e593aa7b#p3198)

6.
在空間坐標中，\(A(1,-1,2)\)、\(B(1,1,0)\)、\(C(1,0,4)\)，\(P\)為平面\(E\)：\(x+y+z=0\)上的動點，則\(\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2\)之最小值為　　　。

空間中三點\(A(1,1,1),B(2,4,0),C(3,2,1)\)，在平面\(E\)：\(x+y+z=6\)上找一點\(P\)使得\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)有最小值，求\(P\)點坐標。
(114蘭陽女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3976&page=2#pid27445)

8.
將4個\(A\)、4個\(B\)、4個\(C\)，12個字母排成一列，條件是前4個字母沒有\(A\)，中間4個字母沒有\(B\)，最後4個字母沒有\(C\)，則滿足條件的排法有　　　種。
類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=454&page=1#pid1779

9.
已知\(a=1!\times2!\times3!\times4!\times5!\times6!\times7!\times8!\times9!\times10!\)，則有　　　個完全平方數是\(a\)的因數。

試問\(1!\times 2!\times \ldots \times 10!\)的正因數中是完全平方數的共有　　　個。
(2016TRML團體賽，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2591&page=1#pid17807)

11.
設\(x,y\)為實數，則\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{4^2+(x-6)^2}+\sqrt{5^2+(y-8)^2}\)的最小值為　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

\(x,y\)為實數，求\( \sqrt{(x-4)^2+9}+\sqrt{(y-7)^2+1}+\sqrt{x^2+y^2} \)之最小値
(101新化高中代理，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1428&page=1#pid6545)

12.
設\(a_n\)為\(10^n\)的所有正因數總和，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{10^{n+1}}=\)　　　。

13.
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，且\(a+b+c=2\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\right)\)的最小值為　　　。

已知\(a,b,c\)為正數且\(a+b+c=1\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\)的最小值為　　　。
(100成淵高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3466)
(我的教甄準備之路　\(a+b=1\)求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)

二、計算與說明題
3.
在座標平面上由\(A(1,0)\)作二次函數\(y=x^2+3\)的切線，
(1)求出這兩條切線方程式。
(2)求出這兩條切線與拋物線\(y=x^2+3\)所圍成區域的面積。

---

作者: peter0210    時間: 2025-6-28 14:56

填充7 題目應有誤，題意中提及的條件需為銳角，但銳角的條件下，函數值不可能為 2 和 1

---

作者: Superconan    時間: 2025-11-22 17:41

填充第 7 題
題目應更正為「α , β 為第四象限角」，才能得到正解。
原因如附件，如果有錯再麻煩告知～

附件: 金門高中114_填充第7題.pdf (2025-11-22 17:49, 130.29 KB) / 該附件被下載次數 305
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7711&k=0813ab86845e065b4325a57a3984701b&t=1769608046

---

作者: ruee29    時間: 2025-11-23 17:57

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-11-22 17:41 發表
填充第 7 題
題目應更正為「α , β 為第四象限角」，才能得到正解。
原因如附件，如果有錯再麻煩告知～

試著用同事提供的幾何解法
也是第四象限角才ok

圖片附件: 1763891515355.jpg (2025-11-23 17:57, 632.74 KB) / 該附件被下載次數 265
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7712&k=2c77f5ebdc219490134f46848d80a490&t=1769608046

---

作者: Superconan    時間: 2025-11-23 22:58     標題: 回覆 5# ruee29 的帖子

謝謝老師幫忙檢驗，
想請問您的圖 α 和 β 都是用第二象限角算的嗎？
如果是的話，為什麼橘色的點在第四象限？
然後這個幾何解法有點看不懂，不知道能否多說明一下，謝謝

---

作者: ruee29    時間: 2025-11-24 08:50

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-11-23 22:58 發表
謝謝老師幫忙檢驗，
想請問您的圖 α 和 β 都是用第二象限角算的嗎？
如果是的話，為什麼橘色的點在第四象限？
然後這個幾何解法有點看不懂，不知道能否多說明一下，謝謝 ...

是用第二象限角算的 。
透過描點，可知兩條直線與單位圓交於第二與第四象限。
利用原點到直線的距離， 算出兩個直角三角形的邊長。
Beta-alpha=大觀察角-小觀察角，接著用合角公式。
若在第四象限，大觀察角-小觀察角=alpha -beta

圖片附件: 1763944907519.jpg (2025-11-24 08:50, 677.28 KB) / 該附件被下載次數 267
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7713&k=5d8170a34975c459bd4916cb8ee4e0f3&t=1769608046

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0