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標題: 114屏東女中 [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2025-6-16 11:02     標題: 114屏東女中

114屏東女中教甄數學科試題與答案

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作者: bugmens    時間: 2025-6-16 11:30

1.
設複數\(z\)滿足\(z^3\)為純虛數，且滿足\(|\;z^3+4-5i|\;=5\)，試求\(|\;z+i|\;\)的最小值。

2.
從一正立方體的稜邊中點中，任選兩點，設為\(A,B\)，試問可形成幾種不同的\(\vec{AB}\)？

在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((1,1,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)、\((1,0,1)\)、\((1,1,1)\)與\((0,1,1)\)。若\(A\)、\(B\)分別為此正立方體兩相異稜邊的中點，則 \(\displaystyle \vec{AB}\) 共有幾種可能？
(100鳳新高中代理，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1197&page=1#pid4183)

12.
實數\(x\)、\(y\)滿足\(\cases{x+y=z-1\cr xy=z^2-7z+14}\)，\(x^2+y^2-4x-4y\)有最大值\(M\)、最小值\(m\)，試求數對\((M,m)=\)？

15.
\(P=\left[\matrix{0&1&1\cr 1&0&1\cr 1&1&0}\right]\)，\(I=\left[\matrix{1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1}\right]\)，設\(P^n=a_nP+b_nI\)，\(\forall n \in \mathbb{N}\)，求\(a_n\)之一般式。
(我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)

二、計算證明題
1.\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)為空間向量，其中\(\vec{a}\ne \vec{0}\)。
證明：若\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}\)且\(\vec{a}\times \vec{b}=\vec{a}\times \vec{c}\)，則\(\vec{b}=\vec{c}\)。

2.
甲、乙兩人參選形象大使，由\(n\)位委員不記名投票，每人都投了一票，且無人投廢票，開票採一一唱票方式，假設開票過程中任何時刻甲的得票數皆不低於乙的得票數，直至開票完成。設所有可能的開票過程有\(a_n\)種情形，例如：\(a_2=2\)(甲甲、甲乙，兩種可能過程)；\(a_3=3\)(甲甲甲、甲甲乙、甲乙甲，三種可能過程)。
(提示(Catalan number \(C_m\))：若甲乙各得\(m\)票，且在開票過程中，任何時刻甲的累計得票數皆不低於乙，則滿足此條件的開票順序共有\(\displaystyle C_m=\frac{1}{m+1}C_m^{2m}=C_m^{2m}-C_{m+1}^{2m}\)種。)
(1) 求\(a_5=\)？
(2) 請推證出\(a_n\)的一般表達式。
作者: zj0209    時間: 2025-6-16 20:39

想請教一下第6 14 16題，謝謝！
作者: tsusy    時間: 2025-6-16 22:49     標題: 回覆 3# zj0209 的帖子

填充 14.
屏東女中舉辦100週年校慶抽號碼送獎品活動，規則如下：
學務處準備編號1、2、3、…、9的牌卡11 張，其中編號8的牌卡有3張，其它編號的牌卡均只有1張。從這11張牌隨機抽出四張且抽出後不放回，依抽出順序由左而右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
(1)此四位數大於8800
(2)此四位數含有三個數字8
例如：若抽出四張牌編號依序為8、8、1、6，則此四位數為8816，可獲得獎品。依上述規則，請問共有多少個抽出排成的四位數可獲得獎品？
[解答]
要很小心地算
針對 8 的數量進行分量，以下以 x 表示1~9 中非 8 的 數字
(1) 零個8：9xxx 的型式，有 \( C_{3}^{7}\cdot3!=210 \) 個四位數，可獲得獎品
(2) 一個8
(2-1) 千位為 8：89xx，有 \( C_{2}^{7}\cdot2!=42 \)
(2-2) 千位為 9：9xx8，其中千位數、十位數、個位數可交換，有 \( C_{2}^{7}\cdot3!=126 \)
(3) 兩個8
(3-1) 千位數為 8：88xx, 898x, 89x8，有 \( P^8_2+7+7 = 70 \)
(3-2) 千位數為 9：9x88，其中千位數、十位數、個位數可交換，有 \( C_{1}^{7}\cdot3=21 \)
(4) 三個8：888x：其中四數均可交換，有 \( 8 \cdot 4 =32 \)
綜合以上，共 \( 210 + 42 +126 +70 +21 + 32 = 501 \) 個四位數，可獲得獎品
作者: tsusy    時間: 2025-6-16 23:06     標題: 回覆 3# zj0209 的帖子

填充 6.
空間中有一四面體\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=\sqrt{30},\overline{AC}=15,\overline{AD}=9\)，且\(\angle BAC=60^{\circ},\angle CAD=30^{\circ}\)。當\(sin\angle BAD=t\)時，四面體\(ABCD\)體積有最大值。試求\(t\)值。
[解答]
依題意， \( \Delta BAC, \Delta CAD \) 形狀大小皆固定
令 \( H \) 為 \( B \) 在 \( AC \) 中的投影點
以 \( \Delta CAD \) 為底面，則此底面上高的長度不大於 \( \overline{BH} \)

當 \( \Delta BAC, \Delta CAD \) 所在的兩面垂直時，有四面體 \( ABCD \) 的體積有最的值
建立坐標，計算夾角的餘弦值、正弦值

\( \vec{AB}=\sqrt{30}\cdot (\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( \vec{AD}=9\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0) \)
此二向量的夾角 \( \theta  \)，滿足 \( \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{4},\sin\theta=\frac{\sqrt{13}}{4} \)
作者: zj0209    時間: 2025-6-17 06:28

謝謝 tsusy 老師！
作者: weiye    時間: 2025-6-17 11:26     標題: 回覆 3# zj0209 的帖子

填充題第16題：
數列\(\langle b_n \rangle\)滿足\(b_1=6\)，\(b_2=96\)，\(\displaystyle b_{n+2}=\frac{(b_{n+1})^3}{2(b_n)^2}-2b_{n+1}(b_n)^2\)，\(\forall n\in \mathbb{N}\)。設\(\displaystyle p=\left(\frac{b_{101}}{2b_{100}}\right)^2+(b_{100})^2\)，則\(log(logp)\)之值最接近哪個整數？
[解答]
對於任意正整數 \(n\)，令 \(\displaystyle a_n = \left( \frac{b_{n + 1}}{2 b_n} \right)^2 + {b_n}^2\)，

則 \(\displaystyle a_{n+1} = {\left( {\frac{{{b_{n + 2}}}}{{2{b_{n + 1}}}}} \right)^2} + {b_{n + 1}}^2 = {\left( {\frac{{{b_{n + 1}}^2}}{{4{b_n}^2}} - {b_n}^2} \right)^2} + {b_{n + 1}}^2 = {\left[ {{{\left( {\frac{{{b_{n + 1}}}}{{2{b_n}}}} \right)}^2} + {b_n}^2} \right]^2} = {a_n}^2\)

（上面第二個等號的代換，是把題目給的「\({b_{n + 2}} =  \cdots \)」等號左右同除以 \(2 b_{n+1}\) 的結果。）

因此 \(\displaystyle {a_1} = {\left( {\frac{{96}}{{2 \times 6}}} \right)^2} + {6^2} = 100 = {10^2}\)，

\({a_2} = {a_1}^2 = {10^4}\)，

\({a_3} = {a_2}^2 = {10^8}\)，…

\({a_n} = {10^{{2^n}}}\)。

故 \(\displaystyle \log \left( {\log p} \right) = \log \left( {\log {a_{100}}} \right) = \log \left( {\log \left( {{{10}^{{2^{100}}}}} \right)} \right) = \log \left( {{2^{100}}} \right) = 100\log 2 \approx 100 \times 0.3010 = 30.1\)，

最接近的整數為 \(30\)。
作者: peter0210    時間: 2025-6-18 06:18

填充4
坐標平面上有\(A,B,C,D\)四點，已知\(|\;\vec{AC}|\;=|\;\vec{BD}|\;\)，\(\vec{AC}\)與\(\vec{BD}\)夾角的餘弦值等於\(\displaystyle \frac{7}{9}\)，且\(\vec{BC}=\vec{AB}+\vec{AD}\)，試求\(cos\angle BAC\)的值．
[解答]

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作者: weiye    時間: 2025-6-23 10:14     標題: 回覆 9# peter0210 的帖子

填充題第 8 題：
某房間內設有一盞聚光燈，其照射的光線為直圓錐狀。為描述其空間幾何關係，建立如右圖所示的空間坐標系。已知光源\(S(2\sqrt{6},3\sqrt{6},12)\)分別沿著對稱軸\(L\)的方向向量\(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{3})\)以及其中一條母線\(M\)的方向向量\((0,0,-1)\)向地面\(z=0\)照射，試問：此聚光燈照射在牆面(即\(y=0\))上的光線邊緣，為哪一種圓錐曲線圖形的一部分？該圓錐曲線在牆面上的頂點坐標為何？
[解答]
設 \(\displaystyle \vec{m}=(0,0,-1), \vec{v} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{3}\right)\) 分別表示 \(M\) 與 \(L\) 的方向向量，令向量 \(\vec{m}\) 與向量 \(\vec{v}\) 的夾角為 \(\theta\) ，則 \(\displaystyle \cos\theta = \frac{\vec{m}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{m}\right|\left|\vec{v}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得 \(\theta = 30^\circ\)，即 \(L\) 與 \(M\) 夾 \(30^\circ\) 或 \(150^\circ\) 。

設 \(P(x,y,z)\) 為聚光燈光線上的任一點，則 向量 \(\vec{SP}\) 與向量 \(\vec{v}\) 夾角為 \(30^\circ\)，

利用 \(\displaystyle \vec{SP}\cdot\vec{v} = \left|\vec{SP}\right| \left|\vec{v}\right| \cos 30^\circ\)，

得 \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-2\sqrt{6}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(y-3\sqrt{6}\right)-\sqrt{3}\left(z-12\right) = \sqrt{3}\sqrt{\left(x-2\sqrt{6}\right)^2+\left(y-3\sqrt{6}\right)^2+\left(z-12\right)^2}\)

將 \(y=0\) （ \(xz\) 平面）代入上式，並且等號左右兩側同時平方，

得 \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-2\sqrt{6}\right)+3\sqrt{3}-\sqrt{3}\left(z-12\right)\right)^2 = 3 \left(\left(x-2\sqrt{6}\right)^2+54+\left(z-12\right)^2\right) \)


經展開化簡後，

得 \(5 x^2 + 2\sqrt{6} x z - 50 \sqrt{6} x + 12 z + 318 = 0\) …….  （＊）

其判別式 \(=\left(2\sqrt{6}\right)^2-4\times 5\times 0 >0\) ，因此圖形為雙曲線。



再來求此雙曲線的頂點。

由於（＊）是斜的雙曲線，如果先移軸、再轉軸、求頂點會有點花時間，

改找貫軸，然後解貫軸與雙曲線的交點好了。



由直圓錐與雙曲線兩者圖形各自的對稱性，可知直圓錐的對稱軸 \(L\) 在 \(y=0\) 平面的投影即為雙曲線的貫軸，

因此雙曲線的貫軸通過 \(S\) 在 \(y=0\) 平面的投影點 \(\displaystyle \left(2\sqrt{6},0,12\right)\) 且方向向量為 \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\sqrt{3}\right)//\left(\sqrt{2},0,-2\sqrt{3}\right)\)，

得貫軸在 \(y=0\) 平面的方程式為 \(\displaystyle \frac{x-2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{z-12}{-2\sqrt{3}}\) …….（＊＊）

再將 \(y=0\) 平面上的「雙曲線方程式（＊）與貫軸方程式（＊＊）解聯立」，

得雙曲線的兩頂點為 \(\displaystyle \left(-\sqrt{6}+\frac{18\sqrt{14}}{7},0,30-\frac{36\sqrt{21}}{7}\right)\) 與 \(\displaystyle \left(-\sqrt{6}-\frac{18\sqrt{14}}{7},0,30+\frac{36\sqrt{21}}{7}\right)\)。

由於最初的聚光燈是朝下（往 \(z=0\) 平面）照射，因此取上面兩頂點中 \(z\) 坐標較小者為 \(\displaystyle \left(-\sqrt{6}+\frac{18\sqrt{14}}{7},0,30-\frac{36\sqrt{21}}{7}\right)\)

即為該圓錐曲線在牆面上的頂點坐標。

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作者: peter0210    時間: 2025-6-24 21:40

填8
某房間內設有一盞聚光燈，其照射的光線為直圓錐狀。為描述其空間幾何關係，建立如右圖所示的空間坐標系。已知光源\(S(2\sqrt{6},3\sqrt{6},12)\)分別沿著對稱軸\(L\)的方向向量\(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{3})\)以及其中一條母線\(M\)的方向向量\((0,0,-1)\)向地面\(z=0\)照射，試問：此聚光燈照射在牆面(即\(y=0\))上的光線邊緣，為哪一種圓錐曲線圖形的一部分？該圓錐曲線在牆面上的頂點坐標為何？
[另解]

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作者: duncan0804    時間: 2025-11-5 15:12

請教填充9、計算1

謝謝
作者: weiye    時間: 2025-11-5 16:41     標題: 回覆 11# duncan0804 的帖子

計算第 1 題：
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)為空間向量，其中\(\vec{a}\ne \vec{0}\)。
證明：若\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}\)且\(\vec{a}\times \vec{b}=\vec{a}\times \vec{c}\)，則\(\vec{b}=\vec{c}\)。
[解答]
若 \(\vec{b}\) 不等於 \(\vec{c}\)，則 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 不是零向量。

（１）　\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}=0\Rightarrow \vec{a}\cdot\left(\vec{b}-\vec{c}\right)=0\)。

　　　因為 \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 皆非零向量，得兩非零向量  \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 互相垂直 。

（２）　\(\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{c}\Rightarrow \vec{a}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{c}=\vec{0}\Rightarrow \vec{a}\times\left(\vec{b}-\vec{c}\right)=\vec{0}\)。

　　　因為 \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 皆非零向量，得兩非零向量  \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 互相平行 。

因為（１）與（２）互相矛盾，得 \(\vec{b}\) 等於 \(\vec{c}\)。
作者: tsusy    時間: 2025-11-9 20:47     標題: 回覆 11# duncan0804 的帖子

填充9.
\(f(x)\)為一實係數三次多項式函數，已知其反曲點為\((-1,84)\)，且\(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(-1-h)-f(-1)}{2h}=43\)，又已知存在\(t>0\)，使得對所有\(a,b\in \mathbb{R}\)，若\(b>a>-1\)，則有\(\displaystyle \int_0^t f(x)dx\le \int_a^b f(x)dx\)。試求\(t\)值。
[解答]
當 \( a=0, b= t \) 時， \( \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{t}f(x)dx \)

也是就是說 \( \min_{-1<a<b}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{t}f(x)dx \)

因此 \( f(x) \) 在區間 \( [0,t] \) 均滿足 \( f(x) \le 0 \) 及在區間 \( [-1,0] \)、 \( [t,\infty] \) 均滿足 \( f(x) \geq 0 \)

(多項式函數) 故 \( f(0) = f(t) = 0 \)

又有題意知 \( (-1,84) \) 為反曲點(也是對稱中心)、\( f'(-1) = -86 \)，與 \( f(0) =0 \)

可解得 \( f(x) = 2x(x+8)(x-5) \)，故所求 \( t = 5 \)



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