標題: 數列與極數，證明 Σ1/n 是發散的無窮級數 [打印本頁]

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作者: chu1976    時間: 2007-10-18 22:02     標題: 數列與極數，證明 Σ1/n 是發散的無窮級數

關於Σ1/n是發散的無窮級數
除了用積分的解法外
是否有其他的方法呢?

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作者: weiye    時間: 2007-10-18 22:39

Σ1/n = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +1/9 + ....
　　 > 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 +....
　　 = 1/1 + 1/2 + 兩個 1/4 + 四個 1/8 + 八個 1/16 + 十六個 1/32 + .....
　　 = 1/1 + 1/2 + 2* 1/4 + 4* 1/8 + 8* 1/16 + 16 * 1/32 + ....
　　 = 1/1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ....(無窮多個 1/2) +......
　　 = 1/1 + (1/2+1/2) + (1/2+1/2) + (1/2+1/2) + ........
　　 = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ .......(無窮多個 1)
　　→ ∞

所以，Σ1/n 會發散到無窮大。

第一行跳第二行的說明：在 2^k - 1 到 2^(k+1) 之間有 2^(k+1) - 2^k = 2^k 個數，而且每個都比 2^(k+1) 小。

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