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標題: 114成淵高中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2025-6-5 10:58     標題: 114成淵高中

成淵

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作者: bugmens    時間: 2025-6-5 14:53

第一部分：填充題
1.
設\(\langle a_n \rangle\)為一個實數數列，考慮數列\(\langle a_n \rangle\)的前\(n\)項之總和\(S_n\)，即\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)，其中\(n\in \mathbb{N}\)。若\(S_n=n^2+4n-2\)，則\(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{10}^2\)的值為　　　。

7.
\(y=sinx+1\)的圖形與\(y=log_{10}x\)的圖形共有　　　個交點。

8.
若\(\Gamma\)：\(\cases{x^2+y^2\le 6\cr x\le 0,y\ge 0}\)為\(xy\)平面上的區域，將\(\Gamma\)繞直線\(y=x\)旋轉一圈所得的旋轉體體積為　　　。

10.
有種神奇粒子，每個粒子每經過1 小時，都會出現下列三種情況之一：
有\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率，這個粒子會變成2 個；有\(\displaystyle \frac{1}{2}\)的機率，這個粒子會維持1個；有\(\displaystyle \frac{1}{6}\)的機率，這個粒子會消失；且每個粒子每小時發生的情況均獨立。
現在有1個這樣的神奇粒子，則「經過3小時後，神奇粒子的數量恰為5個」的機率為　　　。

11.
有隻螞蟻在正立方體\(ABCD-EFGH\)上移動，「每一步」的移動規則是從一個頂點走稜邊至另一個頂點，且走到相鄰三頂點的機率均等。現在螞蟻從\(A\)點出發，走到最遠的\(G\)點即停止，則移動步數的期望值為　　　。

下圖為一個正八面體。一隻螞蟻自正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點處牠會從四條稜邊中隨機地選擇一條向另一頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。則螞蟻自上方頂點爬行到下方頂點，所經過的稜邊數的期望值為　　　。
(101中正高中二招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=1#pid6712)

第二部分：計算證明題
1.
已知矩陣\(X=\left[\matrix{2&1\cr 0&5}\right]\)，設\(X^n=\left[\matrix{a_n&b_n\cr c_n&d_n}\right]\)，其中\(n\)為正整數，請回答下列各小題。
(1)試求\(b_4\)之值。　(2)以\(n\)表示\(b_n\)。
(我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)
作者: peter0210    時間: 2025-6-6 20:17

填11
有隻螞蟻在正立方體\(ABCD-EFGH\)上移動，「每一步」的移動規則是從一個頂點走稜邊至另一個頂點，且走到相鄰三頂點的機率均等。現在螞蟻從\(A\)點出發，走到最遠的\(G\)點即停止，則移動步數的期望值為　　　。
[解答]

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作者: peter0210    時間: 2025-6-8 21:47

填12 答案有誤，應更正如下

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作者: ruee29    時間: 2026-2-6 11:46

整理了一些解答，供參考~
填充10 可直接討論 也整理了生成函數的寫法

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