標題: 114內湖高中三招 [打印本頁]

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作者: kobelian    時間: 2025-6-3 15:08     標題: 114內湖高中三招

三招

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作者: bugmens    時間: 2025-6-3 15:14

3.
設\(f(x)=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-2x+4}\)，當\(x=a\)時，\(f(x)\)有最小值\(b\)，則數對\((a,b)=\)　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

5.
若\(10^n\cdot (C_1^{2025}-3C_3^{2025}+5C_5^{2025}-7C_7^{2025}-\ldots -2023C_{2023}^{2025}+2025C_{2025}^{2025})\)為整數，則整數\(n\)的最小值為　　　。

6.
若依照數字排列的規律將下列表格填滿，則第11列中所有數字的總和為　　　。
\(\matrix{&第1行&第2行&第3行&\ldots&&&第20行\cr
第1列&1&2&4&7&11&\ldots&\cr
第2列&3&5&8&12&&&\cr
第3列&6&9&13&&&&\cr
\vdots&10&14&&&&&\cr
&15&&&&&&\cr
&\vdots&&&&&&\cr
第20列&&&&&&&}\)
(我的教甄準備之路　找出圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

9.
如圖，\(ABCD-EFGH\)為一邊長為1的正立方體。\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)四動點分別在\(\overline{AF}\)、\(\overline{BG}\)、\(\overline{CH}\)、\(\overline{DE}\)上，且四邊形\(PQRS\)平行正方體的底面\(ABCD\)，則當\(P\)點從\(A\)點沿著\(\overline{AF}\)移動到\(F\)點時，四邊形\(PQRS\)的軌跡形成的立體圖形體積為　　　。

三、大考試題講解
1.
112年分科測驗數學甲的單選第3題的題目如下：
\(\bbox[border:1px solid black]{\matrix{\displaystyle 3.試問極限\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2}\left( \sqrt{4n^2+9 \times 1^2}+\sqrt{4n^2+9 \times 2^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9 \times (n-1)^2}\right)
的值可用下列哪一個定積分表示？\cr
(1)\int_{0}^{3} \sqrt{1+x^2} \,dx　(2)\int_{0}^{3} \sqrt{1+9x^2} \,dx　(3)\int_{0}^{3} \sqrt{4+x^2} \,dx　(4)\int_{0}^{3} \sqrt{4+9x^2} \,dx　(5)\int_{0}^{3} \sqrt{4x^2+9} \,dx}}\)
(1)試寫出詳細的解題步驟，並加以說明如何引導學生這一題的解法。
(2)若延伸此題如下，試寫出詳細的解題步驟。
\(\bbox[border:1px solid black]{設\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{3}{n^2}\left( \sqrt{4n^2+9 \times 1^2}+\sqrt{4n^2+9 \times 2^2} +\cdots+\sqrt{4n^2+9 \times (n-1)^2} \right)=\int_{0}^{2} f(x) \, dx，試寫出f(x)。}\)

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作者: peter0210    時間: 2025-6-11 20:10

填10
動點\(P\)一開始在數線的原點，今擲一枚公正的骰子，若出現點數1，則\(P\)點往右跳一單位，若出現其他點數，則\(P\)點往左跳一單位，當\(P\)點跳到2或\(-2\)時結束，則\(P\)點最後停在2的機率為　　　。
[解答]

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作者: peter0210    時間: 2025-6-12 13:48

填11
在坐標空間中，有一平面\(E\)：\(x-y+z=3\)和一射線\(L\)：\(\cases{x=1+2t\cr y=-1+t\cr z=1-t},t\ge 0\)，若一半徑為1的球與平面\(E\)相切，也與射線\(L\)相切，則此球的球心軌跡所圍成的區域面積為　　　。
[解答]

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作者: peter0210    時間: 2025-6-12 20:34

填9
如圖，\(ABCD-EFGH\)為一邊長為1的正立方體。\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)四動點分別在\(\overline{AF}\)、\(\overline{BG}\)、\(\overline{CH}\)、\(\overline{DE}\)上，且四邊形\(PQRS\)平行正方體的底面\(ABCD\)，則當\(P\)點從\(A\)點沿著\(\overline{AF}\)移動到\(F\)點時，四邊形\(PQRS\)的軌跡形成的立體圖形體積為　　　。
[解答]

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作者: peter0210    時間: 2025-6-13 10:43

計算一
在坐標平面上，設點\(P(4,4)\)、\(Q(10,-2)\)，已知直線\(L\)通過原點\(O(0,0)\)，且\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)為直線\(L\)上相異四點，\(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}\)，\(\angle PAB=\angle PBQ=\angle PCQ=\angle CDQ=90^{\circ}\)，則直線\(L\)的斜率為何？
[解答]

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圖片附件: 計算一2.png (2025-6-13 14:26, 78.98 KB) / 該附件被下載次數 1112
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7606&k=ed5d2b3017baf4087d64bef83d28d5a5&t=1777461782

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作者: ruee29    時間: 2026-2-3 16:23

整理了一些解答 供參考
填充6：沒有看清楚題意 算成4550， 與官方答案不同

附件: 114內湖高中三招解答(1).pdf (2026-2-3 16:23, 1.13 MB) / 該附件被下載次數 351
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附件: 114內湖高中三招解答(2).pdf (2026-2-3 16:23, 920.75 KB) / 該附件被下載次數 309
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7738&k=335558d81c9f569182a19c0c41337243&t=1777461782

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作者: thepiano    時間: 2026-2-4 12:31     標題: 回覆 7# ruee29 的帖子

填充第 6 題
官方答案 4165 是正確的
因為題目給的表格只有 20 行 20 列
先前的規律在第 11 列第 11 行的格子被打破

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作者: ruee29    時間: 2026-2-4 12:37     標題: 回覆 8# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的回覆，我知道沒考慮到的部分了，題目沒看清楚XD，再來重算一次
更新算式
66*20+(11+(11+12)+...+(11+12+...19))
+(11+12+...19)*10+(19+(19+18)+(19+18+17)+...+(19+18+...10)
=1320+(11+12+...19)*21+10=4165

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