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標題: 114南科實中國中部 [打印本頁]
作者: Molly    時間: 2025-5-26 17:43     標題: 114南科實中國中部

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作者: thepiano    時間: 2025-5-26 18:11     標題: 回覆 1# Molly 的帖子

第 4 題
A 組 x 人，B 組 y 人
70(x + y) + 95(36 - y) - 78x = 87 * 36
8x + 25y = 288
x = 11，y = 8


第 5 題
設紅色虛圓圓心 O
正三角形 DEF，DF = 2
所求 = OD = (2/3)√3


第 8 題
A、B 是 x - y = k 和 y = x^2 之交點
A((1 + √(1 - 4k))/2，(1 + √(1 - 4k))/2 - k)，B((1 - √(1 - 4k))/2，(1 - √(1 - 4k))/2 - k)
AB = √(2 - 8k)

又 AD = 兩平行線 x - y = k 和 x - y = 2 之距離 = |k - 2| / √2
利用 AB = AD 可求出 k = 0 或 -12

所求 = √2 或 7√2


第 9 題
√(x^2 - 2x + 5) + √(x^2 - 8x + 52)
= √[(x - 1)^2 + 2^2] + √[(x - 4)^2 + 6^2]
視為 x 軸上一點到 A(1，-2) 和 B(4，6) 之距離和
最小為 AB = √73
所求為 5 + √73


第 12 題
由三次函數的圖形可知，必為以下兩情形其中之一
f(1) = -18、f(2) = 18、f(3) = 18、f(5) = -18、f(6) = -18、f(7) = 18
f(1) = 18、f(2) = -18、f(3) = -18、f(5) = 18、f(6) = 18、f(7) = -18

易知反曲點 (4，0)
設 f(x) = a(x - 4)^3 + p(x - 4)
上面第一種情形代入
f(5) = a + p = -18
f(6) = 8a + 2p = -18
a = 3，p = -21
f(x) = 3(x - 4)^3 - 21(x - 4)
|f(0)| = 108

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-26 19:22 編輯 ]
作者: bugmens    時間: 2025-5-26 18:30

1.
記號\([a]\)表示小於或等於\(a\)的整數中最大的。例如\([3.12]=3\)，求\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{[\sqrt{1936}]}+\frac{1}{[\sqrt{1937}]}+\frac{1}{[\sqrt{1938}]}+\ldots+\frac{1}{[\sqrt{2024}]}}\)的值？

2.
有很多塊邊長為1單位的正方形磁磚，其中分成斜線圖樣磁磚和純白磁磚兩種。請用這些磁磚按照下面規則，
依序組出邊長為1、2、3……的正方形區塊(如下方示意圖)。
⚫ 邊長為1的正方形由 1塊斜線磁磚組成。
⚫ 邊長為\(n\)的正方形區域，最左下角為斜線圖樣磁磚，且相鄰磁磚為不同形式。
試問：若正方形區域共使用斜線磁磚總數為221個，這個正方形區域的邊長是？
▨　\(\matrix{☐▨\cr ▨☐}\)　\(\matrix{▨☐▨\cr ☐▨☐ \cr ▨☐▨}\)　…
[解答]
斜線磁磚總數為221個為奇數，正方形邊長也為奇數
\(\matrix{&&a_1&&a_2&&a_3&&a_4\cr
&&邊長1&&邊長3&&邊長5&&邊長7\cr
1&&1&&5&&13&&25\cr
&0&&4&&8&&12&\cr
&&4&&4&&4&&}\)
\(a_n=1C_0^n+0C_1^n+4C_2^n=2n^2-2n+1\)
\(2n^2-2n+1=221\)，\(n^2-n-110=0\)，\((n-11)(n+10)=0\)，\(n=11\)，正方形邊長\(=2\times 11-1=21\)
(我的教甄準備之路　找出圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

3.
實數數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(\displaystyle a_{n+1}=\left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)a_n\)，其中\(n\)為正整數，求\(\displaystyle \frac{a_{100}}{a_1}=\)？

6.
請計算\(\displaystyle \frac{1}{1\times 4}+\frac{1}{2\times 5}+\frac{1}{3\times 6}+\frac{1}{4\times 7}+\ldots+\frac{1}{n(n+3)}+\ldots=\)？

7.
已知一元二次方程式\(2x^2-x-a=0\)，其中\(a>0\)。若\(a=1,2,3,\ldots,n\)所對應的一元二次方程式的兩根為\(\alpha_n\)與\(\beta_n\)，則請問\(\displaystyle \left(\frac{1}{\alpha_1}+\frac{1}{\beta_1}\right)\times \left(\frac{1}{\alpha_2}+\frac{1}{\beta_2}\right)\times\ldots \times\left(\frac{1}{\alpha_9}+\frac{1}{\beta_9}\right)\)的值？

8.
正方形\(ABCD\)的兩頂點\(A\)、\(B\)在二次函數\(y=x^2\)上，\(C\)、\(D\)兩點在\(y=x-2\)上，求此正方形邊長？

已知正方形 \(ABCD\) 的兩頂點 \(A,B\) 在拋物線 \(y^2=x\) 上,且 \(C,D\) 在直線 \(L:\,y = x+4\) 上求正方形的面積?(二解)
(99中壢高中二招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2436)

9.
試求\(5+\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2-8x+52}\)的最小值(\(x\)為實數)。

10.
已知平面上四點\(A(0,0)\)、\(B(2,5)\)、\(C(3,4)\)、\(D(4,0)\)，過\(A\)點的一條直線將四邊形\(ABCD\)切成面積相等的兩部份，且此直線與\(\overline{CD}\)交於\(\displaystyle \left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right)\)，\(\displaystyle \frac{p}{q}\)、\(\displaystyle \frac{r}{s}\)皆為最簡分數，則\(p+q+r+s=\)？

11.
水平桌面上放有四個半徑為4的球，且相鄰的球都相切，在此四球的上面放置一個半徑為2的小球，它和底下的四個球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面的距離為何？

將十個半徑為1的球堆成一個三角垛，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為　　　
(112基隆女中，https://math.pro/db/thread-3748-1-1.html)

12.
設\(f(x)\)是三次實係數多項式函數滿足\(|\;f(1)|\;=|\;f(2)|\;=|\;f(3)|\;=|\;f(5)|\;=|\;f(6)|\;=|\;f(7)|\;=18\)。試求\(|\;f(0)|\;\)之值。
作者: Molly    時間: 2025-5-27 11:48     標題: 回覆 2# thepiano 的帖子

謝謝老師!



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