標題: 114成德高中 [打印本頁]

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作者: kobelian    時間: 2025-5-24 22:22     標題: 114成德高中

114成德

第10題答案更正為 10^(2025/2) 。

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作者: bugmens    時間: 2025-5-25 05:02

第一部份　填充題
3.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)且外接圓半徑為8，試求\(\left|\ \matrix{-1&cosC&cosB\cr cosC&-1&cosA\cr cosB&cosA&1}\right|\ =\)　　　。

已知\(\triangle ABC\)，\(\overline{AB}=5\)，其外接圓半徑為10，試求\(\left|\ \matrix{-1&cosC&cosB\cr cosC&-1&cosA\cr cosB&cosA&1}\right|\ =\)　　　。
(96台南女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3490&page=1#pid22346)

6.
若\(\left[\matrix{-1&\sqrt{3}\cr -\sqrt{3}&-1}\right]^{50}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)，則\(\displaystyle \frac{bc-ad}{a+b+c+d}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)

若\(\left[\matrix{-1&\sqrt{3}\cr -\sqrt{3}&-1}\right]^{100}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)，則\(\displaystyle log_2 \frac{bc-ad}{a+b+c+d}=\)　　　。
(2012TRML團體賽，https://math.pro/db/thread-1486-1-1.html)

8.
設\(\displaystyle S_n=sin^2\left(\frac{\pi}{3n}\right)+sin^2\left(\frac{2\pi}{3n}\right)+sin^2\left(\frac{3\pi}{3n}\right)+\ldots+sin^2\left(\frac{n\pi}{3n}\right)\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

第二部份　填充題
11.
設\(a,b\in \mathbb{R}\)且\(c=\sqrt{(a+3)^2+(b-2)^2}+\sqrt{(b-2)^2+(a-4)^2}+\sqrt{a^2+(b-5)^2}\)，求\(c\)的最小值　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

114.5.29補充
抱歉，第11題和95台南高商題目概念不同，一個是費馬點，另一個是對稱點。
求\( \sqrt{x^2-12x+40}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-8y+20} \)的最小值？
(95台南高商，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9233)

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作者: cut6997    時間: 2025-5-28 22:59     標題: 回覆 2# bugmens 的帖子

想請問11題如何整理成bug版主歸類為同一題的形式
因為版主的類題似乎是另外兩個根號內僅有單變數
（感謝鋼琴老師，若用費馬點做正三角形連線的話那沒問題）

另外想詢問第10題從何下手
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感謝鋼琴老師，原來是自己腦袋抽風一直沒把log的連加轉成連乘

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-5-29 16:41 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2025-5-29 07:09     標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

第 11 題
這題跟板主提到題目不同，是”費馬點”的題目
100 年師大附中有考過

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作者: thepiano    時間: 2025-5-29 11:52     標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

第 10 題
設 A = 1 + 2 + ... + 2024
B = a_1 * a_2 * ... * a_2025 = a_1^2025 * r^A

C = 1 + r + r^2 + ... + r^2024
D = a_1 + a_2 + ... + a_2025 = a_1C

a_1^a_1 * a_2^a_2 * ... * a_2025^a_2025 = 10^2 = 100
a_1^a_1 * (a_1r)^(a_1r) * ... * (a_1r^2024)^(a_1r^2024) = 100 ... (1)

a_1^a_2025 * a_2^a_2024 * ... * a_2025^a_1 = 10^(-1) = 1/10
a_1^(a_1r^2024) * (a_1r)^(a_1r^2023) * ... * (a_1r^2024)^a_1 = 1/10 ... (2)

(1) * (2)
a_1^(2a_1C) * r^(2024a_1C) = 10
(a_1^2 * r^2024)^(a_1C) = 10


所求 = B^D = (a_1^2025 * r^A)^(a_1C)
= (a_1^2 * r^2024)^[(2025/2)(a_1C)]
= 10^(2025/2)

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作者: Superconan    時間: 2025-5-31 22:03

數學科第10題答案異動

圖片附件: 數學科第10題答案異動.png (2025-5-31 22:03, 74.91 KB) / 該附件被下載次數 957
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作者: thepiano    時間: 2025-6-1 00:46

答案

第 10 題有更正答案，請參考樓上

weiye 註： 答案的檔案已改移到本討論串首篇，方便後續網友下載與討論。

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作者: ruee29    時間: 2026-1-6 21:39

整理了一些解答，供參考~

附件: 114成德高中.pdf (2026-1-6 21:39, 1.01 MB) / 該附件被下載次數 86
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7724&k=72a225a205a5a8954c87bba986a64b5f&t=1769623749

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