標題: 一題立體圖形的極值問題 [打印本頁]

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作者: Arbesbe    時間: 2025-5-7 16:07     標題: 一題立體圖形的極值問題

各位老師好，一道題目和大家討論：
題目:
一直圓柱內接於一體積為36的直圓錐，試求直圓柱的最大體積為何?

答案：16
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我的問題：
1. 請問這題要如何列式呢?我完全沒有頭緒
2. 另外我自己稍微假設了一下，請問這個答案為什麼沒有pi呢?還是其實是正常的呢?

謝謝各位老師

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作者: cut6997    時間: 2025-5-7 17:46

令圓錐底圓半徑為r,高為h
1/3r^2h(pi)=36
=>r^2h=k為定值
令圓柱半徑為a,高為b
求a^2b最大
三角形面積相等ah+br=hr
不想動腦袋的話就直接變數代換微分之後跟他拚了就好
=>b=h-ah/r
=>a^2b=a^2h-a^3h/r=a^2k/r^2-a^3k/r^3=f(a)
=>f'(a)=2ak/r^2-3a^2k/r^3
=>a=2r/3
=>b=h/3
=>a^2b(pi)=4/27(r^2h(pi))=4/27*(36*3)=16

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