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標題: 114內壢高中 [打印本頁]
作者: 草薙京    時間: 2025-5-5 09:57     標題: 114內壢高中

剛致電詢問教學組
03-4528080 # 212
組長說昨天11:00已經公告，然後公告完後再撤下來？？？
請問有老師有看到嗎？
https://ccs.cyc.edu.tw/modules/tadnews/index.php?nsn=6744
作者: pppm    時間: 2025-5-5 12:36

感謝高中數學教甄社群
： ）老師提供

附件: 114內壢高中_數學科試題.pdf (2025-5-5 17:21, 204.13 KB) / 該附件被下載次數 2172
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7519&k=f8904a32ef8c60c472234b1c5acda6ff&t=1769635483

附件: 114內壢高中_數學科答案.pdf (2025-5-5 17:21, 581.03 KB) / 該附件被下載次數 1970
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7520&k=d700270e621711f80431b62af038bd2c&t=1769635483
作者: bugmens    時間: 2025-5-5 13:28

1.
若\((x-\sqrt{x^2-2011})(y+\sqrt{y^2-2011})+2011=0\)，則\(2x+y=\)　　　。

2.
\(\displaystyle C_0^{1001}-\frac{1}{2}C_1^{1001}+\frac{1}{3}C_2^{1001}+\ldots+\frac{(-1)^{1001}}{1002}C_{1001}^{1001}=\)　　　。
類似問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4636

5.
若\(x\)為整數，且\(\displaystyle \frac{x^3-x+360}{(x-1)(x+1)}\)亦為整數，則符合條件的最大整數\(x\)為　　　。

求最大的整數\(n\)使得\(\displaystyle \frac{n^3+108}{n+11}\)也是整數，\(n=\)　　　。
(108麗山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=5#pid19741)
作者: 耳東陳    時間: 2025-5-5 13:40     標題: 想請教填充1、4、7及計算第3題

作者: thepiano    時間: 2025-5-5 14:03     標題: 回覆 4# 耳東陳 的帖子

填充第 1 題
若\((x-\sqrt{x^2-2011})(y+\sqrt{y^2-2011})+2011=0\)，則\(2x+y=\)　　　。
[解答]
[x - √(x^2 - 2011)][y + √(y^2 - 2011)] = -2011
同乘 x + √(x^2 - 2011)，整理可得
√(x^2 - 2011) + √(y^2 - 2011) = -x - y

同乘 y - √(x^2 - 2011)，整理可得
√(x^2 - 2011) + √(y^2 - 2011) = x + y

√(x^2 - 2011) + √(y^2 - 2011) = 0
2x + y = x = ±√2011


計算第 3 題
若\(x=15!\)(即15的階乘數)且\(n=323\)，求\(x\)被\(n\)除後的餘數。
[解答]
323 = 17 * 19

15! ≡ 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * (-8) * (-7) * (-6) * (-5) * (-4) * (-3) * (-2) (mod 17)
≡ -[(2 * 3 * 4 * 5) * (6 * 7 * 8)]^2 (mod 17)
≡ -(1 * 13)^2 (mod 17)
≡ -(-4)^2 (mod 17)
≡ 1 (mod 17)

15! ≡ 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * (-9) * (-8) * (-7) * (-6) * (-5) * (-4) (mod 19)
≡ (2 * 3) * [(4 * 5) * (6 * 9) * (7 * 8)]^2 (mod 19)
≡ 6 * [1 * (-3) * (-1)]^2 (mod 19)
≡ 16 (mod 19)

令 15! = 323a + 19b + 16
取 b = 1，19b + 16 = 35 ≡ 1 (mod 17)

故 15! ≡ 35 (mod 323)
作者: Ellipse    時間: 2025-5-5 15:29

引用:
原帖由 耳東陳 於 2025-5-5 13:40 發表
填4: 用Integration by parts吧
作者: thepiano    時間: 2025-5-5 16:57     標題: 回覆 4# 耳東陳 的帖子

填充第 7 題
設有一顆正六面體骰子，其中三面塗成黃色，兩面塗成藍色，最後一面塗成紫色，投擲時每一面出現的機率相同，若投擲此骰子5次，紀錄黃色、藍色、紫色出現的次數各別為\(x,y,z\)次(其中\(x+y+z=5\))，則次數乘積\(xyz\)的期望值為　　　。
[解答]
考慮以下 6 種 (x，y，z) 就好
(3，1，1)、(1，3，1)、(1，1，3)
(2，2，1)、(2，1，2)、(1，2，2)

所求 = 3 * C(5，3) * C(2，1) * [(1/2)^3(1/3)(1/6) + (1/2)(1/3)^3(1/6) + (1/2)(1/3)(1/6)^3] + 4 * C(5，2) * C(3，2) * [(1/2)^2(1/3)^2(1/6) + (1/2)^2(1/3)(1/6)^2 + (1/2)(1/3)^2(1/6)^2] = 5/3
作者: satsuki931000    時間: 2025-5-5 22:35

填4
\(\displaystyle \int \frac{ln(x+1)}{x^2}dx=\)　　　。
[解答]
\(u= ln(x+1),dv=x^{-2} dx\)

因此\(uv-\int v du =\displaystyle \frac{-ln(x+1)}{x}+\int \frac{1}{x(x+1)} dx =\displaystyle \frac{-ln(x+1)}{x}+\int \frac{1}{x} dx -\int \frac{1}{x+1} dx \)

所求為\(\displaystyle \frac{-ln(x+1)}{x}+ln|x|-ln|x+1|+C\)
作者: Ellipse    時間: 2025-5-6 08:43

填充1
若\((x-\sqrt{x^2-2011})(y+\sqrt{y^2-2011})+2011=0\)，則\(2x+y=\)　　　。
[解答]
有一個取巧作法
y= - x亦符合方程式, 將y= -x 帶入原式得
[x - √(x^2 - 2011)][-x+ √(x^2 - 2011)] = -2011
[x-√(x^2 - 2011)]^2=2011
解出x=√2011或-√2011
另外,還要說明已無其他解
作者: 耳東陳    時間: 2025-5-7 11:00     標題: 謝謝大家的回覆

計算3
若\(x=15!\)(即15的階乘數)且\(n=323\)，求\(x\)被\(n\)除後的餘數。
[解答]
我後來用wilson 定理處理鋼琴大前面的部分
16! ≡ -1 (mod17)
18! ≡ -1 (mod19)
另外想請教 計算題第4題
作者: thepiano    時間: 2025-5-7 12:44     標題: 回覆 10# 耳東陳 的帖子

計算題第 4 題
設\(a_1,a_2,a_3,a_4\)為兩兩互質的整數，且\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=n\)為整數，試求所有符合題意的\(n\)值。
[解答]
n = 1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3 + 1/a_4

(1) n 的最大值是 4，此時 a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 1

n 的最小值是 -4，此時 a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = -1

(2) 若 n = 3
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 1，另兩個為 2，不互質，不合題意

若 n = -3
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 -1，另兩個為 -2，不互質，不合題意

(3) 若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 3 個 1，另一個為 -1，則 n = 2

若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 3 個 -1，另一個為 1，則 n = -2

(4) 若 n = 1
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 1，另兩個為 -2，不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 1 個 1，另三個不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 0 個 1，四個數不互質，不合題意

若 n = -1
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 -1，另兩個為 2，不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 1 個 -1，另三個不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 0 個 -1，四個數不互質，不合題意

(5) 若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 2 個 1，另  2 個為 -1，n = 0
作者: wow    時間: 2025-6-11 14:36     標題: 回覆 11# thepiano 的帖子

老師想請教一下

要如何說明n=2時  只有 -1 -1 1 1 這四個數字組成 沒有其他可能呢

感謝老師!
作者: thepiano    時間: 2025-6-12 11:42     標題: 回覆 12# wow 的帖子

題目要求所有符合的 n 值
所以舉 -1，1， 1，1 這個例子，可讓 n = 2 就行了
不用證明 n = 2 只能由它組成
作者: ruee29    時間: 2025-11-13 17:05

整理了一些解答，供參考~

附件: 114內壢高中(1).pdf (2025-11-13 17:05, 1.32 MB) / 該附件被下載次數 241
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7708&k=5d9c5404bd045cf91e9d88563c16107b&t=1769635483

附件: 114內壢高中(2).pdf (2025-11-13 17:05, 1.2 MB) / 該附件被下載次數 233
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7709&k=bf38707f73aa79fb058b1aa94a0b9619&t=1769635483



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