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標題: 114全國高中聯招 [打印本頁]

作者: godofsong 時間: 2025-5-3 14:07 標題: 114全國高中聯招

單選11題一題2分，複選6題一題3分，17題選擇題總共40分，只好先寫填充跟計算了.......

A區門檻：45分
B區門檻：49分
C區門檻：38分
D區門檻：44分

[ 本帖最後由 godofsong 於 2025-5-23 17:10 編輯 ]

附件: 114全國高中職聯招.pdf (2025-5-3 14:07, 405.94 KB) / 該附件被下載次數 3454
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作者: Ellipse 時間: 2025-5-3 14:26

引用:

原帖由 godofsong 於 2025-5-3 14:07 發表
單選11題一題2分，複選6題一題3分，17題選擇題總共40分，只好先寫填充跟計算了.......

填2:答案給錯了,應該是2√19/3
令CD=1,BD=h,依題意可知AD=2
tanA=h/2 , tanC=h/1
tanB=tan(180°-A-C)=(tanA+tanC)/(tanA*tanC-1)
=3h/(h²-2)
所求=(4/h)+(h²-2)/(3h)+(3/h)=(h²+19)/(3h)>=2(√19)/3

單選10:答案也給錯了,應該是(A)
以下是用Mathematica幫大家驗證

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-5-3 14:54 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2025-5-3 15:31 標題: 回覆 2# Ellipse 的帖子

單選 10
會不會要加上小數第一位？
題目這樣出，會有爭議吧？

作者: Ellipse 時間: 2025-5-3 15:55

引用:

原帖由 thepiano 於 2025-5-3 15:31 發表
單選 10
會不會要加上小數第一位？
題目這樣出，會有爭議吧？

不用科學記號的答案如下
會有小數點 .5
所以題目沒寫清楚,我們一般在講幾位數
通常是指"整數部分"

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作者: godofsong 時間: 2025-5-3 18:23 標題: 回覆 4# Ellipse 的帖子

我用excel算出 log(a_114)=53+0.9147，答案應為A
我有提出填充2的疑義申請，謝謝橢圓老師

作者: cut6997 時間: 2025-5-3 19:41

單選2分，多選3分，整份試卷題量29題
多選拆成4個選項算的話，高達47題
這是打算以後國高中直接教甄一起辦了嗎?

作者: mathhan 時間: 2025-5-3 21:02 標題: 回覆 6# cut6997 的帖子

真的大傻眼，題目這麼多，能計算的空間又這麼少，根本寫到懷疑人生!?

作者: peter0210 時間: 2025-5-3 21:30

計算一，不知有無另解

圖片附件: 計算一.png (2025-5-3 21:30, 15.6 KB) / 該附件被下載次數 1604
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7510&k=b641cd9adf63245aa78b91857d397c79&t=1769618409

作者: Ellipse 時間: 2025-5-4 00:19

引用:

原帖由 peter0210 於 2025-5-3 21:30 發表

計算一，不知有無另解

它那個圖也是在誤導考生，AD應該比BC長

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-5-4 00:20 編輯 ]

作者: bugmens 時間: 2025-5-4 01:52

7.
\(x,y\in \mathbb{Z}\)，試問\(\displaystyle \Bigg\vert\;\frac{x}{3}+\frac{y}{4}-\frac{114}{5}\Bigg\vert\;\)之最小值為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{15}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{20}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{30}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{60}\)

9.
試計算\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^3+1}{2^3-1}\times\frac{3^3+1}{3^3-1}\times\frac{4^3+1}{4^3-1}\times\ldots\frac{n^3+1}{n^3-1}\right)=\)？
(A)0　(B)1　(C)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{9}{4}\)

給定數列\(\langle\;a_n\rangle\;=\cases{a_1=\frac{1}{2}\cr a_n=3a_{n-1}-2(-1)^{n-1},n\ge 2}\)，試問\(a_{114}\)是幾位數？
(A)54　(B)55　(C)56　(D)57

15.
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若由原點可作三條相異切線，試問實數\(a\)的值可以是下列何者？
(A)\(\pi\)　(B)\(\sqrt{2025}\)　(C)\(log114\)　(D)\(\displaystyle \frac{2025}{114}\)
類似問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567

9.
試計算\(1!\times1+2!\times 2+\ldots+114!\times114\)除以2025的餘數。
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

作者: tsusy 時間: 2025-5-6 18:53 標題: 回覆 8# peter0210 的帖子

今天剛好被問計算1.
由 \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \) 可得，兩向量夾 \( 150^\circ \)
有兩種可能(平移重疊 AC後，順、逆 150 度)，兩種情形況圖形分別是
(1) CD 直線交射線 BA (示意圖之情況)
(2) CD 直線交 AB 射線

另外，由 \( \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}+\frac{\vec{AD}}{|\vec{AD}|}=\sqrt{3}\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|} \)

\( \angle DAC = \angle CAB = 30^\circ \)

若為情況 (1)，則 C、D、A 共線，故不合，必為情況 (2)

綜合以上角度，可得 \( \angle ADC = 90^\circ \)

\( \overline{AC} = 2\overline{CD} \), \( \overline{AD} = \sqrt{3} \overline{CD} \)

四邊形 ABCD 面積 = 三角形 ADC 面積 + 三角形 ACB

\( = \frac{1}{2}\sqrt{3}\overline{CD}^{2}+\frac{1}{2}\cdot2\overline{CD}\cdot\overline{AB}\cdot\sin30^{\circ}=37\sqrt{3} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2025-5-7 21:15 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2025-5-7 08:43 標題: 回覆 11# tsusy 的帖子

謝謝寸絲師的解惑，關鍵就是AB和CD向量的夾角藏有玄機！！

作者: peipei611 時間: 2025-5-7 09:49 標題: 手寫解答分享～

附件是手寫解答的壓縮檔，壓縮後畫質可能變有點差，請見諒><
若我有哪裡寫錯，或是有更快更好的做法歡迎跟我說！！

114全國聯招手寫解析壓縮.zip (1.59 MB)

附件: 114全國聯招手寫解析壓縮.zip (2025-5-7 09:49, 1.59 MB) / 該附件被下載次數 1670
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7526&k=3d24224ec9d0f43e054e65a37e5464b7&t=1769618409

作者: tsusy 時間: 2025-5-7 21:18 標題: 回覆 12# peter0210 的帖子

一開始，我是先發現長度有玄機，計算兩個長度，發現長度比恰好為 \( 2:\sqrt{3} \)
於是決定算一下兩向量夾角 (長度相乘的位置會化簡得漂亮)

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