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標題: 114彰化女中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2025-4-30 08:54     標題: 114彰化女中

114彰化女中

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作者: bugmens    時間: 2025-4-30 09:01

1.
已知\(x,y\)為自然數，若\(\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\)，試求出所有的數對\((x,y)\)。

設 \(x,y\) 為整數，\(x\geq y\) 且滿足方程式 \(\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\)，求數對 \(\left(x,y\right)\)。
(95基隆高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=865&page=1#pid1705)

8.
\(A\)有2枚公正的硬幣，\(B\)有1枚公正的硬幣，兩人進行遊戲，規則如下：
(1)將自己的所有硬幣拋出，正面多的一方取走對方的一枚硬幣。
(2)若雙方的正面數相同，則雙方都不取走對方的硬幣。
上述的動作為一局，當有一方擁有3枚硬幣便贏得遊戲(即遊戲結束)，否則就繼續進行下一局。求A在前3局贏得遊戲的機率為　　　。

15.
(圖1)中，\(1+4=5\)；(圖2)中，\(1+4=5\)、\(4+9=1\)、\(5+13=18\)；依此類推，每個圖的第\(k\)列數列為第\(k-1\)列相鄰兩數之和所形成的數列，每列比前一列少1項，並依此於最後一列得到一個整數。已知(圖n)中，第一列數列為1、4、9、16、…、\((n+1)^2\)，並依上述規則得到最後一列的整數，則此整數為　　　。(以\(n\)表示)
\(\matrix{1&&4\cr&4&\cr&圖1&}\)、\(\matrix{1&&4&&9\cr&5&&13&\cr&&18&&\cr&&圖2&&}\)、\(\matrix{1&&4&&9&&16\cr&5&&13&&25&\cr&&18&&38&&\cr&&&56&&&\cr&&&圖3&&&}\)、…

\(\matrix{1&&4&&9&&16&\ldots&(n+1)^2\cr&5&&13&&25&&□&\cr&&18&&38&&□&&\cr&&&56&&□&&&\cr&&&&？&&&&&&&&？&&&&\cr&&&&(圖n)&&&&}\)
(我的教甄準備之路　找出圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

二、計算證明題
3.(1)
試問極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{3}{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times 1^2}+\sqrt{4n^2+9\times 2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2+9\times (n-1)^2}\right)\)的值可用下列哪一個定積分表示？
(A)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+x^2}dx\)　(B)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+9x^2}dx\)　(C)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4+x^2}dx\)　(D)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4+9x^2}dx\)　(E)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4x^2+9}dx\)。
(2)承(1)，請求出此極限值。
作者: satsuki931000    時間: 2025-5-2 09:52

2. 設\(L: y=m(x-3)\)
代入雙曲線方程式得到 \((3-m^2)x^2+6m^2x+(-9m^2-3)=0\) 有相異兩實根 \(p,q\)

\(\overline{AF}+\overline{BF}=\displaystyle 2[|p-\frac{1}{2}|+|q-\frac{1}{2}|]=16\)
且易知\(p,q > \displaystyle \frac{1}{2}\)
因此\(p+q=9 \Rightarrow \displaystyle \frac{-6m^2}{3-m^2}=9 \Rightarrow m=\pm 3\)
作者: satsuki931000    時間: 2025-5-2 10:09

7. \(P(cos2A,sin2A),Q(4+2cosA,2sinA)\)

\(\overline{PQ}^2= 21+(-16cos^2A+12cosA+8) \leq 21+\displaystyle \frac{41}{4}=\frac{125}{4}\)
\(\displaystyle \overline {PQ} \leq \frac{5\sqrt{5}}{2}\)
作者: satsuki931000    時間: 2025-5-2 11:28

15.舉一個例子寫出結構不難發現
若第一列到\((n+1)^2\)
總合為\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} C^{n}_{k} (k+1)^2\)

化簡為\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} C^{n}_{k}[k(k-1)+3k+1)=n(n-1)\times 2^{n-2}+3n\times 2^{n-1}+2^n=2^{n-2}\times (n+1)(n+4)\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-5-2 11:31 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2025-5-4 14:43

填9

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作者: peter0210    時間: 2025-5-4 15:13

填12

圖片附件: 填12.png (2025-5-4 15:13, 34.2 KB) / 該附件被下載次數 1899
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7514&k=4c426ddf1284239c53485a1fce1c5109&t=1769618402

作者: shihqua    時間: 2025-5-5 11:18

引用:
原帖由 satsuki931000 於 2025-5-2 09:52 發表
2. 設\(L: y=m(x-3)\)
代入雙曲線方程式得到 \((3-m^2)x^2+6m^2x+(-9m^2-3)=0\) 有相異兩實根 \(p,q\)

\(\overline{AF}+\overline{BF}=\displaystyle 2[|p-\frac{1}{2}|+|q-\frac{1}{2}|]=16\)
且易知 ...
想請問老師|p-1/2|+|q-1/2|怎麼來的呢?謝謝
另想請教3,11,13....問題有點多 謝謝
---
謝謝鋼琴老師，13整理到後面了，沒想到帶回去利用不等式
另外兩題有看懂了，謝謝老師！

謝謝satsuki931000老師^^學到了!

[ 本帖最後由 shihqua 於 2025-5-9 09:41 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2025-5-5 12:11     標題: 回覆 8# shihqua 的帖子

第 3 題
a_1 = 0，a_2 = 1
n ≧ 3，a_n = (n - 1)[a_(n - 1) + a_(n - 2)]
這是錯排數的遞迴式

a_n = n![1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + (-1)^n(1/n!)]

而 e^(-1) = 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + (-1)^n(1/n!) + ...


第 11 題
一種是 A 到此平面的距離 = B、C、D、E 到此平面的距離，此種有 1 個
另一種是 B、C 到此平面的距離 = A、D、E 到此平面的距離，類似此種的有 4 個
這 5 個平面圍成的多面體，其形體剛好是 A-BCDE 倒過來，且邊長是它的 1/2，體積是它的 1/8


第 13 題
以下都是向量
2AO․BC + 3BO․CA + 5CO․AB = 0
2AO․(AC - AB) + 3BO․(BA - BC) + 5CO․(CB - CA) = 0
2[(1/2)AC^2 - (1/2)AB^2] + 3[(1/2)BA^2 - (1/2)BC^2] + 5[(1/2)CB^2 - (1/2)CA^2] = 0
2(b^2 - c^2) + 3(c^2 - a^2) + 5(a^2 - b^2) = 0
b^2 = (2/3)a^2 + (1/3)c^2

cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) = [(1/3)a^2 + (2/3)c^2] / (2ac) ≧ [2 * (1/√3)a * (√2/√3)c] / (2ac) = (1/3)√2

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-5 13:22 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2025-5-5 14:02     標題: 回覆 8# shihqua 的帖子

焦半徑公式
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 上一點 \(\displaystyle (x_0,y_0)\)

到焦點\(F(c,0)\)的距離為\(\displaystyle \frac{c}{a} |x_0-\frac{a^2}{c}|\)
作者: zidanesquall    時間: 2025-5-9 09:52     標題: 回覆 7# peter0210 的帖子

請問一下，這樣case1,case2不就違反第一個條件(1) 同字不相鄰了嗎？
作者: peter0210    時間: 2025-5-9 19:33     標題: 回覆 11# zidanesquall 的帖子

所以我後續有插入 C 喔
作者: wow    時間: 2025-5-18 00:49

這份寫的我自信心幾乎歸0了...
想請教填充5 8 14以及計算二
感謝QQ

[ 本帖最後由 wow 於 2025-5-19 22:51 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2025-5-18 07:30     標題: 回覆 13# wow 的帖子

第 5 題
α + β + γ = 4
αβ + βγ + γα = -1
αβγ = -3

f(x) = (x + 2)g(x) + (1 - x)
f(α) = 1 - α、f(β) = 1 - β、f(γ) = 1 - γ

所求 = [f(α)^2 + f(β)^2 + f(γ)^2] / [f(α)f(β)f(γ)]
= [(1 - α)^2 + (1 - β)^2 + (1 - γ)^2] / [(1 - α)(1 - β)(1 - γ)]
= [(α + β + γ)^2 - 2(αβ + βγ + γα) - 2(α + β + γ)  + 3] / [-αβγ + (αβ + βγ + γα) - (α + β + γ) + 1]
= -13


第 14 題
投擲 k (k ≧ 2) 次停止，表示前 (k - 1) 次恰投出 1 次 1 點，第 k 次也投出 1 點
機率 = (k - 1)(1/6)(5/6)^(k - 2)(1/6) = (1/36)(k - 1)(5/6)^(k - 2)

設 f(k) = (k - 1)(5/6)^(k - 2)，所求即 f(k) 有最大值時的 k 值
利用 f(k) ≧ f(k + 1) 及 f(k) ≧ f(k - 1)
即可求出 k = 6 or 7
作者: thepiano    時間: 2025-5-18 08:38     標題: 回覆 13# wow 的帖子

第 8 題
寫出四階轉移矩陣
1，1/2，0，0
0，3/8，1/8，0
0，1/8，3/8，0
0，0，1/2，1

第一行表示從 3 枚到 3、2、1、0 枚
第二行表示從 2 枚到 3、2、1、0 枚
第三行表示從 1 枚到 3、2、1、0 枚
第四行表示從 0 枚到 3、2、1、0 枚

初始矩陣
0
1
0
0

乘三次後。第一列的值即為所求
作者: wow    時間: 2025-5-19 22:52     標題: 回覆 15# thepiano 的帖子

感謝老師 三題都理解了!!

第八題一開始以為是A1 A2 A3的第一個值都要加起來 後來發現A3就是答案XD

感謝鋼琴老師~~~
作者: ruee29    時間: 2025-10-30 17:12

整理了一些解答，供參考~

附件: 114彰化女中(1).pdf (2025-10-30 17:12, 1.88 MB) / 該附件被下載次數 276
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附件: 114彰化女中(2).pdf (2025-10-30 17:12, 942.97 KB) / 該附件被下載次數 267
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7704&k=9cfc3a8a553f74285552ca2fdb31ef00&t=1769618402



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