標題: 114桃園陽明高中 [打印本頁]

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作者: godofsong    時間: 2025-4-28 21:50     標題: 114桃園陽明高中

請教填充8、9、11，以及計算第1題，謝謝！

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作者: CYC    時間: 2025-4-28 22:12

11
袋子裡有七顆球，其中1 號球三顆、2 號球四顆。以取後放回方式，每次隨機抽取兩球(每球被取到機率均等)，並記錄此兩球號碼，若兩球號碼相同，則可重複再隨機抽取兩球，直至兩球號碼不同則停止抽取，完成一輪操作。令隨機變數\(X\)表示每輪取出球號碼總和，求\(X\)的期望值=　　　 。
[解答]
E=1/7(2+E)+2/7(4+E)+4/7*3

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作者: bugmens    時間: 2025-4-28 22:48

4.
在複數平面上，設複數\(z=a+bi\)，\(a,b\in \mathbb{R}\)，且\(a^2+b^2=1\)，試求\(|\;z^2+z-6|\;\)之最大值為　　　。
(類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

5.
方程式\(sin^8 x+cos^8x=m\)若有實數解，則\(m\)的範圍為　　　。

7.
已知橢圓\(\Gamma\)與雙曲線\(\Gamma_1\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)有相同焦點，且\(\Gamma\)上一點\(P\)在直線\(L\)：\(x-y+9=0\)上，若欲使橢圓\(\Gamma\)之長軸最短，此時\(\Gamma\)之方程式為　　　。

以\(x^2+4y^2=12\)的焦點為焦點，且過直線\(L\)：\(x-y+9=0\)的一點\(M\)作一橢圓。欲使橢圓的長軸最短，則橢圓的方程式為　　　。
(100北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=1#pid3379)

6.
已知\(\{\;a_n\}\;\)數列中，\(a_1=1\)，當\(n\ge 2\)時，其前\(n\)項和\(S_n\)滿足\(\displaystyle S_n^2=a_n\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\)，求\(S_n\)的表達式為　　　。

9.
求與曲線\(y=x^4-2x^3+4x\)切於相異兩點的切線方程式為　　　。

坐標平面上，有一直線\(L\)和\(y=x^4-3x^2+2x+3\)相切於相異兩點，直線\(L\)的方程式為？
(113台南女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3730&page=2#pid24828)

10.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)}{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n})^2}\)的值=　　　。(若發散填「不存在」)

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作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-29 06:53     標題: 回覆 1# godofsong 的帖子

第8題
設\(x,y\in \mathbb{R}\)滿足\(x^2+y^2-2y\le 0\)，求\(\displaystyle \frac{x+2y-5}{x-y-1}\)之最大值=　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=811&page=1#pid1535
[解答]
設\(k=\frac{x+2y-5}{x-y-1}\)，得\(L: (1-k)x+(2+k)y+(-5+k)=0\)
化簡\(x^2+y^2-2y \leq 0\)，得\(x^2+(y-1)^2 \leq 1\)
若圓\(C:x^2+(y-1)^2=1\)與\(L\)相交，
則\(\frac{| (1-k)．0+(2+k)．1+(-5+k) |}{\sqrt{(1-k)^2+(2+k)^2} } \leq 1\)
化簡，得\(k^2-7k+2 \leq 0\)，即\(\frac{7-\sqrt{41}}{2} \leq k \leq  \frac{7+\sqrt{41}}{2}\)

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作者: godofsong    時間: 2025-4-29 07:58     標題: 回覆 4# Jimmy92888 的帖子

謝謝三位老師解答！

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作者: thepiano    時間: 2025-4-29 13:19     標題: 回覆 1# godofsong 的帖子

計算第 1 題
設\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，且滿足\(x+y+z=1\)，試證：\(\displaystyle \frac{x-yz}{x+yz}+\frac{y-zx}{y+zx}+\frac{z-xy}{z+xy}\le \frac{3}{2}\)
[解答]
x，y，z > 0，x + y + z = 1

令 x = tan(A/2)tan(B/2)，y = tan(B/2)tan(C/2)，z = tan(C/2)tan(A/2)

(x - yz)/(x + yz) + (y - zx)/(y + zx) + (z - xy)/(z + xy)
= (1 - yz/x)/(1 + yz/x) + (1 - zx/y)/(1 + zx/y) + (1 - xy/z)/(1 + xy/z)
= {1 - [tan(C/2)]^2}/{1 + [tan(C/2)]^2} + {1 - [tan(A/2)]^2}/{1 + [tan(A/2)]^2} + {1 - [tan(B/2)]^2}/{1 + [tan(B/2)]^2}
= 1 - 2[tan(C/2)]^2/{1 + [tan(C/2)]^2} + 1 - 2[tan(A/2)]^2/{1 + [tan(A/2)]^2} + 1 - 2[tan(B/2)]^2/{1 + [tan(B/2)]^2}
= 1 - 2[sin(C/2)]^2 + 1 - 2[sin(A/2)]^2 + 1 - 2[sin(B/2)]^2
= cosC + cosA + cosB
≦ 3/2

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作者: godofsong    時間: 2025-4-29 16:05     標題: 回覆 6# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師解惑！

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作者: cd92822    時間: 2025-4-30 21:31

請問填充題第12題及計算第二題，謝謝！

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作者: thepiano    時間: 2025-4-30 22:48     標題: 回覆 8# cd92822 的帖子

填充題第 12 題
甲乙兩人進行每局8分的桌球比賽，兩人實力相當(每一分甲乙獲勝機率各\(\displaystyle \frac{1}{2}\)，先得8分者獲勝)，已知這局比賽結果甲\(8:6\)獲勝，則這局比賽過程中，兩人分差保持最多相差兩分的機率=　　　。
(分差保持最多相差兩分意思是：這局比賽過程中，\(|\;甲分數−乙分數|\;\le 2\)。) (以指數型式作答即可)
[解答]
不能碰到圖上的兩條紅線
所求 = 729 / 2^14

圖片附件: 20250430.jpg (2025-4-30 22:48, 278.97 KB) / 該附件被下載次數 1409
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作者: cd92822    時間: 2025-5-1 07:35

謝謝鋼琴老師解惑！

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作者: thepiano    時間: 2025-5-2 14:54     標題: 回覆 8# cd92822 的帖子

計算第 2 題
設\(P=(log_2x-1)\cdot (log_3 y)^2-2\cdot (3log_2 x+a)\cdot (log_3 y)+log_2 x+1\)，試問：
(1)當\(a=0\)，\(1\le x\le 2\)，且\(P\)恆為正值時，此時\(y\)的範圍為何？
(2)若對\(x\ne 2\)的一切正實數\(x\)，均有\(y\)使得\(P=0\)，試問實數\(a\)的範圍？
[解答]
令 m = logx (以 2 為底)，n = logy (以 3 為底)
P = (m - 1)n^2 - (6m + 2a)n + (m + 1)

(1) a = 0，1 ≦ x ≦ 2，0 ≦ m ≦ 1
P = (m - 1)n^2 - 6mn + (m + 1) = (n^2 - 6n + 1)m - (n^2 - 1) > 0
m = 0 代入，- (n^2 - 1) > 0，-1 < n < 1
m = 1 代入，(n^2 - 6n + 1) - (n^2 - 1) > 0，n < 1/3
取 -1 < n < 1/3
1/3 < y < 3^(1/3)
官方答案給錯了

(2) x ≠ 2，m ≠ 1
P = (m - 1)n^2 - (6m + 2a)n + (m + 1)
對 x > 0 且 x ≠ 2，均有 y 使得 P = 0
故 [-(6m + 2a)]^2 - 4(m - 1)(m + 1) ≧ 0
8m^2 + 6am + (a^2 + 1) ≧ 0
(6a)^2 - 4 * 8 * (a^2 + 1) ≦ 0
-2√2 ≦ a ≦ 2√2

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作者: piaxiom    時間: 2025-5-26 16:28     標題: 回覆 1# godofsong 的帖子

計算1.
設\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，且滿足\(x+y+z=1\)，試證：\(\displaystyle \frac{x-yz}{x+yz}+\frac{y-zx}{y+zx}+\frac{z-xy}{z+xy}\le \frac{3}{2}\)
(參考)
(x - yz)/(x + yz) = 1 - 2yz/(x + yz) , x + yz = x(x+y+z) + yz = (x+y)(x+z).
原不等式等價於 yz/(x+y)(x+z) + zx/(y+z)(y+x) + xy/(z+x)(z+y)大於等於 3/4.
上列左式通分：［ yz(y+z) + zx(z+x) + xy(x+y)］/ (x+y)(y+z)(z+x)
                       =［ (x+y)(y+z)(z+x) — 2xyz ］/ (x+y)(y+z)(z+x)
                       =  1 — 2xyz/(x+y)(y+z)(z+x).
由 x+y 大於等於 2ㄏxy，⋯ 可知 xyz/(x+y)(y+z)(z+x)的最大值為1/8，此時 x=y=z=1/3，故得證。

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作者: ruee29    時間: 2025-9-27 17:13

整理了填充題解答 供參考~

附件: 114桃園陽明.pdf (2025-9-27 17:13, 1.49 MB) / 該附件被下載次數 400
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7687&k=e0e1bd071a1a46975ac9d25e3133e396&t=1769623583

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