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標題: 114大直高中 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2025-4-28 14:45     標題: 114大直高中

第4題更正為\(\displaystyle \frac{1}{2}<r<2\)

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作者: bugmens    時間: 2025-4-28 14:45

2.
已知正整數\(a\)、\(b\)、\(c\)成等差，且\(\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{a}+\tan^{-1}\frac{1}{b}+\tan^{-1}\frac{1}{c}=\frac{\pi}{4}\)，則數對\((a,b,c)=\)　　　。

求\( \displaystyle tan^{-1} \frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{7}+tan^{-1} \frac{1}{8} \)之值為何？
(99大安高工，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178)

4.
設\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)為平面上兩個非零向量，且\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)，令\(\displaystyle r=\frac{|\;\vec{a}+2\vec{b}|\;}{|\;2\vec{a}+\vec{b}|\;}\)，則\(r\)的範圍為　　　。
(107建國中學二招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2970&page=1#pid19032)

6.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為多項式\(x^3-8x^2+8x-1=0\)的三個根，對於每一個非負整數\(n\)，\(S_n=a^n+b^n+c^n\)，則\(S_{2025}\)的個位數為　　　。

8.
若\(x,y\in \mathbb{R}\)，則\(\sqrt{y^2-8y+20}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-12x+40}\)之最小值為　　　。

二、計算與證明題
1.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為相異的正整數，\(a<b<c\)，且\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{5}{7}\)，試求數對\((a,b,c)\)。

(1)求\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\)所有的正整數解；
(2)求\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)所有的正整數解。
(96南港高工日間部，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9233)
作者: Superconan    時間: 2025-4-29 10:12

請教填充第 4 題

114.4.29版主補充
將更正的題目pdf移到第一篇。
作者: Superconan    時間: 2025-7-11 16:46

請問填充第 8 題
答案是否應更正為 8根號2
作者: tsusy    時間: 2025-7-11 17:07     標題: 回覆 4# Superconan 的帖子

填充8. 答案正確
\( x=\frac{10}{3}, y=\frac{5}{2} \) 發生此最小值 10

而 \( 8\sqrt{2} \) 比他大，不可能是最小值。
作者: Superconan    時間: 2025-7-11 17:45     標題: 回覆 5# tsusy 的帖子

謝謝老師，已發現錯誤之處
作者: ruee29    時間: 2025-8-21 14:18

整理了一些解答，供參考~
答案勘誤:同事補充，計算4(b) 少寫一組 1342

[ 本帖最後由 ruee29 於 2025-10-30 14:47 編輯 ]

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