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標題: 114竹科實中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2025-4-28 11:33 標題: 114竹科實中

114竹科實中（國立新竹科學園區實驗高級中等學校）
高中部數學科教師甄選

附件: 114竹科實中高中數學試題卷.pdf (2025-4-28 11:33, 321.84 KB) / 該附件被下載次數 1813
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作者: bugmens 時間: 2025-4-28 11:54

1.
設雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b,b>0)\)的右焦點為\(F\)，過\(F\)作與\(x\)軸垂直的直線\(L\)，\(L\)與兩條漸近線分別交於\(A\)、\(B\)兩點，\(P\)是\(L\)與雙曲線的一個交點，設\(O\)為原點，若有實數\(m\)、\(n\)使得向量\(\vec{OP}=m\vec{OA}+n\vec{OB}\)，且\(\displaystyle mn=\frac{2}{9}\)，則：\(\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\)　　　。

4.
若實數\(x,y\)滿足：\(4x^2-4xy+2y^2=1\)，則：\(3x^2+xy+y^2\)的最大值與最小值的和為　　　。
[解答]
\(4x^2-4xy+2y^2=1\)，\(\displaystyle 4\left(x^2-xy+\frac{y^2}{4}\right)+y^2=1\)，\(\displaystyle 4\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+y^2=1\)
令\(\displaystyle x=\frac{1}{2}(sin\theta+cos\theta),y=cos\theta,0\le \theta\le 2\pi\)代入\(3x^2+xy+y^2\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}(sin\theta+cos\theta)^2+\frac{1}{2}(sin\theta+cos\theta)\cdot cos\theta+cos^2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}(1+2sin\theta cos\theta)+\frac{1}{2}sin\theta cos\theta+\frac{1}{2}cos^2\theta+cos^2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}+\frac{3}{4}sin2\theta+\frac{1}{4}sin2\theta+\frac{3}{2}cos^2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}+sin2\theta+\frac{3}{2}\cdot \frac{1+cos2\theta}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}+sin2\theta+\frac{3}{4}cos2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}+\frac{5}{4}sin(2\theta+\alpha)\)
最大值\(\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)，最小值\(\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}\)，和為\(\displaystyle \frac{11}{4}+\frac{1}{4}=3\)

6.
\(m,n\)為正整數，則滿足：\(\sqrt{m+\sqrt{m^2-n}}+\sqrt{m-\sqrt{m^2-n}}=6\)的所有\(n\)的總和為　　　。

7.
已知\(x,y\in \mathbb{R}^+\)，則\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2x}\right)^2\)的最小值為　　　。

8.
已知一圓內接15 邊形，且圓心在此15 邊形內部。從此15 邊形中任取3 個頂點可構成一個三角形，則所構成的三角形中最多有　　　個鈍角三角形。
類似問題https://math.pro/db/thread-519-1-1.html

9.
將\((x-\sqrt{3})^{50}+(x+1)^{50}\)展開後可得多項式\(a_{50}x^{50}+a_{49}x^{49}+a_{48}x^{48}+\ldots+a_1x+a_0\)，設\(a_0-a_2+a_4-a_6+\ldots+a_{48}-a_{50}\)之值為\(k\)，試求：\(log_4|\;k|\;=\)　　　。

10.
設複數\(z_1,z_2\)滿足：\(|\;z_1|\;=|\;z_1+z_2|\;=3\)，\(|\;z_1-z_2|=3\sqrt{3}\;\)，則：\((z_1\cdot \overline{z_2})^{2025}+(\overline{z_1}\cdot z_2)^{2025}=\)　　　。
(2008TRML團體賽，100家齊女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid9356)

第二大題：計算與證明題
3.
已知函數\(f(x)=sin^{12}x+cos^{12}x\)。若\(f(x)\)的最小值為\(m\)、最大值為\(M\)，試求：\(m\)及\(M\)各為何？

作者: Superconan 時間: 2025-8-2 11:59

請教填充第 5 題

作者: thepiano 時間: 2025-8-2 22:09 標題: 回覆 3# Superconan 的帖子

第 5 題
設\(\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}\)，且滿足：\(sin\alpha\cdot cos\beta+|\;cos\alpha\cdot sin\beta|\;=sin\alpha \cdot |\;cos\alpha|\;+|\;sin\beta|\;\cdot cos\beta\)，則：\((tan\gamma-sin\alpha)^2+(cot\gamma-cos\beta)^2\)的最小值為　　　。
[解答]
sinα * cosβ + |cosα * sinβ| = sinα * |cosα| + |sinβ| * cosβ
(sinα - |sinβ|)(cosβ - |cosα|) = 0
令 sinα = a，cosβ = b
[(a - √(1 - b^2)][b - √(1 - a^2)] = 0
a^2 + b^2 = 1

又 tanγ * cotγ = 1

(tanγ - sinα)^2 + (cotγ - cosβ)^2 即 xy = 1 上一點到 x^2 + y^2 = 1 上一點距離的平方
最小值 = (√2 - 1)^2 = 3 - 2√2

作者: zj0209 時間: 2025-8-3 20:35

想請教一下第8題，答案是442，我算出來是15*21=315，不知道是哪些情形沒考慮到?

作者: thepiano 時間: 2025-8-3 23:37 標題: 回覆 5# zj0209 的帖子

第 8 題
已知一圓內接15 邊形，且圓心在此15 邊形內部。從此15 邊形中任取3 個頂點可構成一個三角形，則所構成的三角形中最多有　　　個鈍角三角形。
[解答]
315 是圓內接”正” 15 邊形的 15 個頂點，任選 3 個連成的鈍角三角形個數
而這題是一般的圓內接 15 邊形
由於圓心在其內部，最少有 13 個銳角三角形，最多有 442 個鈍角三角形

作者: zj0209 時間: 2025-8-4 08:41

我了解了，謝謝thepiano老師！

作者: nico90015 時間: 2025-8-6 15:40

想問填充2，謝謝！

作者: weiye 時間: 2025-8-6 16:46 標題: 回覆 8# nico90015 的帖子

填充題第 2 題：
在一排有20張椅子的座位區中，要安排甲、乙、丙、丁、戊5人入坐，一人坐一張椅子，要求第1張與最後一張椅子不能安排人入坐，且每相鄰的5張椅子至少要有一人入坐，任兩人不能坐在相鄰的椅子上。試問：5人入坐的方法有　　　種可能。
[解答]
把有人坐的椅子以 △ 表示，沒人坐的椅子以 ○ 表示，

先排五個  △ ，如下

△  △  △  △  △

依題意，任兩個 △ 之間至少要有一個 ○，且頭尾都要有 ○，先安排如下

○ △ ○  △ ○  △ ○  △ ○  △ ○

剩下 9 個 ○ 放入由五個 △ 所隔出的六塊區域中，

由於此六區域中的任一區域至多只能放入四個 ○，

用取捨原理，可得放入 ○ 的方法數為

\(H_9^6 - C^6_1 H_5^6 + C^6_2 H_1^6 = 580\) 。

再將甲、乙、丙、丁、戊五人任意安排到五個 △ 所在的位置，

得安排入坐的方法數為 \(580\times 5! = 69600\) 種。

作者: nico90015 時間: 2025-8-10 03:56 標題: 回覆 9# weiye 的帖子

謝謝老師！！
想再問計算4

作者: Superconan 時間: 2025-8-19 20:21

如下圖，底面為正方形的四角錐\(P-ABCD\)，其中\(\triangle PAB\)垂直底面正方形\(ABCD\)且\(\overline{PB}=\overline{AB}\)。若\(E\)為\(\overline{BC}\)中點，則：
(1)當\(\angle PBA=60^{\circ}\)時，試證明：\(\overline{AE}\perp \overline{PD}\)
(2)若直線\(\overline{AE}\)與\(\triangle PAD\)夾角為\(\theta\)，則\(cos\theta\)的取值範圍為何？
[解答]
請教計算第 1 題的第 (2) 小題
答案是否為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5} < cos \theta < 1 \)

圖片附件: IMG_0938.jpeg (2025-8-19 21:04, 381.93 KB) / 該附件被下載次數 521
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作者: thepiano 時間: 2025-8-20 10:46 標題: 回覆 11# Superconan 的帖子

正確

作者: duncan0804 時間: 2025-8-20 13:56

想請教計算第二題與填充3

謝謝老師

作者: thepiano 時間: 2025-8-20 19:28 標題: 回覆 13# duncan0804 的帖子

填充第 3 題
等差數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)。已知\(a_1=10\)，\(a_2\)為整數，且對所有的正整數\(n\)，\(S_n\le S_4\)恆成立。若\(\displaystyle b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}\)，則：\(b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{10}=\)　　　。
[解答]
a_1 = 10，a_2 是整數，表示公差是整數
S_n <= S_4，表示 a_5 <= 0 且公差是負整數
易知公差 = -3
剩下的就裂項相消

作者: farmer 時間: 2025-8-22 12:43 標題: 回覆 13# duncan0804 的帖子

已知各項皆為正整數的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)且對任意正整數\(n\)，\(\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1\)，\(\lambda\)為正實數。若\(2a_2=a_1+a_3\)，試求：數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項。
[解答]
計算第2題答案是:
a(n)=2n-1。
討論過程很繁複，也許我沒找到比較簡潔的方式，看有沒有哪位高人能夠用簡潔的方式足夠嚴謹得到答案，但基本上我不會把這題認定為是在考試中可以做的題目。
過程大致上為:

1. 先整理λ的表達式:λ=(√S(n) -1)/(a(n)-1)，這裡n≧2時都成立，n=1時則分母可能為0(事實上的確為0)。
由λ為定值，對兩個n值(n≠1)討論之後，可得S(n)必為完全平方數，因此λ為有理數。

2. 令S(n)=t(n)^2，因此a(n)=t(n)^2-t(n-1)^2，其中每一個t(n)皆為正整數。
帶入式子整理之後可得到:
(2λt(n)-1)^2=(2λt(n-1))^2+(2λ-1)^2，對每一個n都成立
其中λ是有理數，因此可把上面這方程整理成整數方程(畢氏方程)。
因2λ-1是定值，若2λ-1≠0，則滿足此方程的正整數t(n)、t(n-1)只有有限多個解(畢氏數)，
但滿足此式子的每個t(n)都相異且有無限多個，矛盾。因此2λ-1=0，
且同時會得到t(n)=t(n-1)+1，

3. 把λ=1/2代入式子，且令n=1討論，得到兩種結果:a(1)=1或 λ=1/(√a(n) +1)
第二種結果對應λ=1/2，一樣得到a(1)=1，因此t(1)=1，t(n)=n，a(n)=n^2-(n-1)^2=2n-1。

作者: tsusy 時間: 2025-8-22 15:13 標題: 回覆 15# farmer 的帖子

計算2.
已知各項皆為正整數的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)且對任意正整數\(n\)，\(\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1\)，\(\lambda\)為正實數。若\(2a_2=a_1+a_3\)，試求：數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項。
[解答]
用了分子有理化的方式，但還是不好做

\( \sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}=\lambda(a_{n}-a_{n-1})...(1) \)

\( \Rightarrow\frac{\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}}{S_{n}-S_{n-1}}=\lambda(a_{n}-a_{n-1}) \)

\( \Rightarrow\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}=a_{n}\lambda(a_{n}-a_{n-1})...(2) \)

(1)(2)\( \Rightarrow\begin{cases}
\sqrt{S_{n}}=\frac{a_{n}+1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1})\\
\sqrt{S_{n-1}}=\frac{a_{n}-1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1})
\end{cases} \)

因此 \( \sqrt{S_{n-1}}=\frac{a_{n}-1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1})=\frac{a_{n-1}+1}{2}\lambda(a_{n-1}-a_{n-2})...(3) \)

而 \( 2a_{2}=a_{1}+a_{3}\Rightarrow a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1} \)

以 \( n=3 代入 (3) 式，得 a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{3}=2 \) 或 0 (不合，與 (2) 及 \( a_{n} \) 均正矛盾)

接著使用數學歸納法，證明 \( a_{n}-a_{n-1}=2 \) 對所有正整數 \( n\geq2 \) 均成立...(4)。

\( n=2,3 \) 時，即 \( a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{3}=2. \)

若 \( n=k (k\ge3) \) 時 (4) 成立，即 \( a_{k}-a_{k-1}=2 \)

當 \( n=k+1 \) 時，(3) \( \Rightarrow\frac{a_{k+1}-1}{2}(a_{k+1}-a_{k})=a_{k}+1 \)

\( \Rightarrow(a_{k+1}-a_{k}-2)(a_{k+1}+1)=0\Rightarrow a_{k+1}-a_{k}=2 \) 或 \( a_{k+1}=-1 \) (不合)

由數學歸納歸法得 \( a_{n} \)為等差數列，其公差為 2

以 \( S_{n}=\frac{(2a_{n}+2n-2)}{2}\cdot n \) 代入 \( \sqrt{S_{n}}=\frac{a_{n}+1}{2}\lambda(a_{n}-a_{n-1}) \) (恆成立) 解得 \( a_{1}=1, \lambda=\frac12 \)

因此 \( a_n = 2n-1 \)

作者: thepiano 時間: 2025-8-22 20:01 標題: 回覆 13# duncan0804 的帖子

計算第 2 題
已知各項皆為正整數的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)且對任意正整數\(n\)，\(\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1\)，\(\lambda\)為正實數。若\(2a_2=a_1+a_3\)，試求：數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項。
[解答]
(1) 2a_2 = a_1 + a_3
√S_n = λ(a_n - 1) + 1

√S_2 - √S_1 = λ(a_2 - a_1) = λ(a_3 - a_2) = √S_3 - √S_2
2√S_2 = √S_1 + √S_3

(2) a_2 = a_1 + d，a_3 = a_1 + 2d
4S_2 = S_1 + S_3 + 2√(S_1S_3)
4(2a_1 + d) = a_1 + 3a_1 + 3d + 2√[a_1(3a_1 + 3d)]
d = 2a_1，a_2 = 3a_1，a_3 = 5a_1

(3) λ = (√S_2 - 1) / (a_2 - 1) = (√S_3 - 1) / (a_3 - 1)
(√4a_1 - 1) / (3a_1 - 1) = (√9a_1 - 1) / (5a_1 - 1)
a_1 = 1，λ = 1/2
√S_n = (1/2)(a_n - 1) + 1

(4) S_n - S_(n - 1) = a_n = 2√(S_n) - 1
(√(S_n) - 1)^2 = S_(n - 1)
√S_n = √[S_(n - 1)] + 1
√S_n = n
S_n = n^2
a_n = S_n - S_(n - 1) = n^2 - (n - 1)^2 = 2n - 1

作者: ruee29 時間: 2025-9-8 22:14

整理了一些解答，計算2(自己沒寫出來)參考學習老師們的寫法，供參考~
證明最後一題尚未寫完，再整理成兩個不平行向量的線性組合
，係數等於0，餘弦定理可推出60度~

附件: 114竹科實中(1).pdf (2025-9-8 22:14, 1.46 MB) / 該附件被下載次數 454
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附件: 114竹科實中(2).pdf (2025-9-8 22:14, 1003.66 KB) / 該附件被下載次數 448
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7686&k=76808cad7b3cfb14bdbc717a57d1cb95&t=1769623585

作者: Gary 時間: 2025-10-7 15:16 標題: 問一下填充2

我想請問一下題目說每五張椅子至少有一人入座，我的理解應該是兩人之間最多只有4張椅子，不過答案似乎是最多可以有5張，不知道是我哪裡理解錯誤呢

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