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標題: 114彰化高中 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2025-4-25 10:57     標題: 114彰化高中

第4題答案更正為\((3,3,1)\)

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作者: bugmens    時間: 2025-4-25 10:57

3.
空間座標中，一正立方體的八個頂點分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)、\((1,1,0)\)、\((1,0,1)\)、\((0,1,1)\)、\((1,1,1)\)，已知三個平面\(E_1\)：\(2x+2y+2z=3\)、\(E_2\)：\(3x+y+3z=5\)、\(E_3\)：\(3x+3y+4z=6\)與此正立方體的截痕分別為\(a\)邊形、\(b\)邊形、\(c\)邊形，求序對\((a,b,c)=\)　　　。

在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((1,1,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)、\((1,0,1)\)、\((1,1,1)\)與\((0,1,1)\)。試問下列那一個平面與此正立方體的截面為五邊形？
(1)\(2x+2y+2z=3\)
(2)\(2x+2y+2z=5\)
(3)\(3x+y+3z=5\)
(4)\(3x+3y+4z=6\)
(5)\(3x+6y+4z=11\)。
(103科學班聯合學科資格考，連結有解答https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/ ... 91%8A%E7%89%88).pdf)

4.
已知空間中一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=y-2=\frac{z-3}{-2}\)以及線外兩點\(A(5,2,-2)\)、\(B(1,-3,5)\)。若\(P\)點為\(L\)上之動點，當\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時的\(P\)點座標為　　　。

已知空間中一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}\)以及線外兩點\(A(5,2,-2)\)、\(B(1,-3,5)\)。若\(P\)點為\(L\)上之動點，當\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時的\(P\)點座標為　　　。
(113科學班聯合學科資格考，連結有解答https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/ ... 91%8A%E7%89%88).pdf)

5.
已知\([x]\)表示不大於實數\(x\)的最大整數，解方程式\((logx)^2-[logx]-6=0\)得\(x=\)　　　。

7.
\(\triangle ABC\)中，已知\(M\)為\(\overline{BC}\)中點，\(\overline{AB}\)上一點\(P\)使\(\overline{AP}=4\)，\(\overline{BP}=3\)，\(\overline{AC}\)上一點\(Q\)使\(\overline{AQ}=2\)，\(\overline{CQ}=1\)，\(\angle PMQ=90^{\circ}\)，則\(cosA=\)　　　。
(110科學班聯合學科資格考，連結有解答https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/ ... 91%8A%E7%94%A8).pdf)


8.
廣場中央有一座噴泉，某人從\(A\)點出發，沿噴泉周圍的小路不重複地繞噴泉走一周，最終回到\(A\)點的走法有　　　種。(噴泉會在你走的路線內部)

广场中央有一座漂亮的喷泉．小明从\(A\)点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到\(A\)点的走法共有　　　种(图中的两个圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部)
(百度網頁https://zhidao.baidu.com/question/1836376399825521020.html)

10.
設有一拋物線\(y=x^2-2x-5\)，過\(A(-1,0)\)的一直線\(L\)與此拋物線所圍成的區域面積有最小值時，求\(L\)的方程式為　　　。

直線 \(L\) 通過點 \((2,1)\) 且與拋物線 \(y=-x^2+2x+2\) 圍成一個封閉區域，試問封閉區域的最小面積。
(103台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1867&page=1#pid10017)

11.
在\(\triangle ABC\)中，已知\(\angle B\)的分角線\(\overline{BE}\)與\(\overline{BC}\)邊的中線\(\overline{AD}\)垂直且等長(\(E\)在\(\overline{AC}\)上)，已知\(\overline{BE}=\overline{AD}=8\)，求\(\triangle ABC\)的周長=　　　。

在\(\triangle ABC\)中，已知\(\angle B\)的分角線\(\overline{BE}\)與\(\overline{BC}\)邊的中線\(\overline{AD}\)垂直且等長，已知\(\overline{BE}=\overline{AD}=4\)，試求此三角形之周長=　　　。
(105科學班聯合學科資格考，https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/eduexp/PastExam.aspx)

12.
計算\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{4n^2-3k^2}}{2n^2}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

13.
設\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2025}\left[\frac{2025+2^n}{2^{n+1}}\right]=\)　　　。

14.
空間中兩點\(A(x_1,y_1,z_1)\)、\(B(x_2,y_2,z_2)\)之間的"絕對距離"定義如下：\(d(A,B)=|\;x_1-x_2|\;+|\;y_1-y_2|\;+|\;z_1-z_2|\;\)。已知\(s>0\)，定義以\(A\)點和\(B\)點為焦點的"絕對橢球"為點集合\(\{\;P|\;d(P,A)+d(P,B)=s \}\;\)。則經過點\((1,0,0)\)且焦點為\((0,3,0)\)與\((0,0,4)\)的絕對橢球之體積為　　　。

二、計算證明題
1.
設函數\(f(x)=x+3+\sqrt{5-x^2}\)，求\(f(x)\)的最大值及最小值。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

3.
設\(k\)為正整數，已知兩拋物線\(\Gamma_1\)：\(y=x^2-k\)與\(\Gamma_2\)：\(x=-2(y-30)^2+k\)有四個相異交點。
(1)證明滿足題意的\(k\)值的最小值為6。
(2)當\(k=6\)，此四個交點座標\((x,y)\)皆會滿足\((x-a)^2+(y-b)^2\le r^2\)，求\(r\)的最小值。

設\(k\)為正整數，使兩拋物線\(\Gamma_1\)：\(y=x^2-k\)與\(\Gamma_2\)：\(x=-2(y-30)^2+k\)有四個相異交點，且這四個交點都位於某個半徑不大於10的圓上。滿足題意的\(k\)值不只一個，證明：滿足題意的\(k\)值的最小值為6。
(112科學班聯合學科資格考，https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/eduexp/PastExam.aspx)
作者: Ellipse    時間: 2025-4-25 11:31

引用:
原帖由 bugmens 於 2025-4-25 10:57 發表
　
填2:
(x^3-3x*y^2)^2+(y^3-3x^2*y)^2=25+1=26
整理得x^6+3x^4*y^2+3x^2*y^4+y^6=(x^2+y^2)^3=26
所求=(x^2+y^2)=(26)^(1/3)

填10:
y' | (x=-1 )=(2x-2) | (x=-1)= -4
所求:y=-4(x+1)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-25 11:39 編輯 ]
作者: cut6997    時間: 2025-4-25 17:33     標題: 回覆 3# Ellipse 的帖子

想請教計算題第3題的第2小題
還有橢圓老師填10神奇的算式(我自己做設2根積分後再微分才得到一部分恆正另一個為0才拿到m=-4...可謂千辛萬苦)
-------------
感謝兩位老師解說

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-4-25 21:01 編輯 ]
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-25 20:31     標題: 回覆 4# cut6997 的帖子

第10題應該是用下面的性質：
設y=ax^2+bx+c為開口向上的拋物線，若P(h,k)為拋物線上方一點，則過P點的直線與拋物線所面積有最小值時，該直線的斜率為f'(h)。
作者: peter0210    時間: 2025-4-26 20:51

第十題，利用所圍面積最小時，恰為中點弦
作者: farmer    時間: 2025-4-27 02:43     標題: 回覆 6# thepiano 的帖子

計算3(2)，這想法真巧妙，
不過這答案雖然對，但要證明就是這個圓的話，
說明起來就麻煩了。(要說明這四個點不會在某個半圓形上)
作者: peter0210    時間: 2025-4-27 13:02

計算二

圖片附件: 計算二(1).png (2025-4-27 13:02, 22.7 KB) / 該附件被下載次數 1358
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作者: lovejade    時間: 2025-4-28 19:27

想請教一下第14題，謝謝
作者: weiye    時間: 2025-4-29 17:43     標題: 回覆 10# lovejade 的帖子

填充第14題：


圖片附件: ex14.jpg (2025-4-29 17:51, 485.46 KB) / 該附件被下載次數 1564
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作者: lovejade    時間: 2025-5-8 16:52     標題: 回覆 11# weiye 的帖子

謝謝老師!
作者: lovejade    時間: 2025-5-8 17:20

想再請教一下計算3的第1小題，謝謝
作者: lovejade    時間: 2025-5-9 18:50     標題: 回覆 14# thepiano 的帖子

謝謝老師!
作者: farmer    時間: 2025-5-10 00:59     標題: 回覆 14# thepiano 的帖子

計算第 3 題 (1)
兩者有四個相異交點時，
開口朝左的拋物線頂點不一定要在開口朝上的拋物線圖形下方，
沒辦法直接說 30 ≦ k^2 - k ，
要依照題目係數作更瑣碎的討論才能確認這件事。
作者: thepiano    時間: 2025-5-10 07:29

引用:
原帖由 farmer 於 2025-5-10 00:59 發表
兩者有四個相異交點時，
開口朝左的拋物線頂點不一定要在開口朝上的拋物線圖形下方
可否請 farmer 老師舉個反例？謝謝
作者: Jimmy92888    時間: 2025-5-10 19:14     標題: 回覆 17# thepiano 的帖子

這樣是否符合兩位老師所討論的問題?

圖片附件: Screenshot 2025-05-10 at 7.12.10 PM.png (2025-5-10 19:15, 102.28 KB) / 該附件被下載次數 905
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作者: thepiano    時間: 2025-5-10 21:33     標題: 回覆 18# Jimmy92888 的帖子

感謝 jimmy92888 老師，請問有只動到 k 的反例嗎？

我做這題時，想說兩個拋物線的開口大小和方向已確定，只是一個上下平移，一個左右平移，所以畫完圖就湊了個答案，一定不嚴謹啦

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-10 21:41 編輯 ]
作者: Jimmy92888    時間: 2025-5-10 21:46     標題: 回覆 19# thepiano 的帖子

目前用desmos觀察是5.999<k<6有這樣的現象，
我是直接用兩拋物線解聯立，判斷四相異解的情況，
要算出實際的臨界點很麻煩，
但因為題目有加上k為正整數的條件，
所以就變成只要確認k=6符合，k<=5皆不合就好。

鋼琴老師對第(2)題的觀察，讓人非常佩服。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-5-10 21:49 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2025-5-10 22:13     標題: 回覆 20# Jimmy92888 的帖子

感謝 jimmy92888 老師

看來這題還是要討論 k 值，而不能只看手繪的圖，先刪掉錯誤的解法

年紀大了，頭腦也不行了，今年退休後，應該也要告別這裡了
感謝各位老師多年來的指導，讓沒讀過高中的我，能學習高中數學。
作者: farmer    時間: 2025-5-11 13:51     標題: 回覆 19# thepiano 的帖子

鋼琴老師直覺思維的敏銳度是有目共睹，
許多題目如果不這樣敏銳思考而是都土法煉鋼的話，
一方面題目繁雜做不完，另一方面題目就變得沒有意思了。
很多漂亮解法也都是要先有精準直覺找出方向之後，再把細微處嚴謹化。

原來鋼琴老師竟然沒讀過高中，但您的程度早已超越高中數學太多啦!
退休後還是可以不時來這遊玩嬉戲當作生活的一部分啊!
作者: wow    時間: 2025-5-17 14:59

填充十一題
我用兩塊三角形相加等於大塊的三角形再用餘弦
請問有更好算的算法嗎

計算三
毫無頭緒 請問有解嗎

感謝各位老師
作者: thepiano    時間: 2025-5-17 15:43     標題: 回覆 21# wow 的帖子

第 11 題
作 DF 平行 BE，交 AC 於 F
DF = (1/2)BE = 4

設 BE 和 AD 交於 G
△ABG 和 △DBG 全等 (ASA)
AG = DG = 4
GE = (1/2)DF = 2

CF = FE = EA = √(AG^2 + GE^2) = 2√5
AC = 6√5

AB = √(AG^2 + BG^2) = 2√13
BC = 2BD = 2AB = 4√13

所求 = 6√13 + 6√5

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-17 15:54 編輯 ]
作者: wow    時間: 2025-5-18 00:44     標題: 回覆 22# thepiano 的帖子

感謝老師!!我發現我計算錯誤了 sqrt13寫成sqrt3了
作者: ruee29    時間: 2025-8-18 14:43

整理到填充13題  供參考
有些好難XD
再好好學習前輩們整理的寫法~
感謝thepiano老師，在美夢成真教甄討論區，提供了計算3(2)的寫法，神來一筆，太猛了!
也希望老師若有時間，再來指導我們

[ 本帖最後由 ruee29 於 2025-8-19 16:41 編輯 ]

附件: 114彰化高中 寫到填充13.pdf (2025-8-18 14:43, 964.57 KB) / 該附件被下載次數 571
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7677&k=a61b93e0694db9a5c48d78094caf84a3&t=1769623750

附件: 114彰中 寫到 填充13.pdf (2025-8-18 14:43, 1019.99 KB) / 該附件被下載次數 549
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7678&k=1fc785626ebf44fc90de148f41266713&t=1769623750



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