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標題: 114家齊高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2025-4-21 08:31 標題: 114家齊高中

　

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作者: bugmens 時間: 2025-4-21 08:32

1.
設\(a,b,c,d \in \mathbb{R}\)，若\(a-2b+3c-4d=6\)，\(a^2+4b^2+9c^2+16d^2=12\)，求\(d\)的最小值為　　　。
類似問題https://math.pro/db/thread-61-1-1.html

6.
坐標平面上，\(P\)為直線\(L\)：\(x+2y=10\)上一點，\(A(1,2)\)，\(B(4,-7)\)，則當\(P\)坐標為　　　時，\(\angle APB\)有最大值。

視角問題https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122540

在l：\( x+y-5=0 \)上找一點\( P(x,y) \)，使得點\( P(x,y) \)對\( A(1,0) \)，\( B(3,0) \)的夾角\( ∠APB為最大時 \)，\(P\)點坐標為何？(其中\( P \in \)第一象限)
(99中壢高中二招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2442)

7.
已知\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in R\)，若\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha-4\beta-6\gamma+13=0\)，試求\((\alpha-\delta-8)^2+(\beta-2\delta-9)^2+(\gamma-3\delta-10)^2\)的最小值為　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957
[解答]
球面方程式\((\alpha-1)^2+(\beta-2)^2+(\gamma-3)^2=1\)，球心\((1,2,3)\)，半徑1
直線參數式\(\cases{x=\delta+8\cr y=2\delta+9\cr z=3\delta+10}\)，\(\delta \in \mathbb{R}\)
球心到直線距離\(\sqrt{(\delta+8-1)^2+(2\delta+9-2)^2+(3\delta+10-3)^2}=\sqrt{14(\delta+3)^2+21}\)，當\(\delta=-3\)時，最短距離\(\sqrt{21}\)
原式最小值為圓心到直線最短距離減1再平方\(=(\sqrt{21}-1)^2=22-2\sqrt{21}\)

9.
\(x,y\in R\)，已知\(x^2+xy+y^2=6\)，若\(x^2+y^2\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。
(100全國高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1163&page=2#pid3872)

作者: zj0209 時間: 2025-4-22 09:58

想請教一下 3 13 謝謝！

作者: cut6997 時間: 2025-4-22 10:29 標題: 回覆 3# zj0209 的帖子

3.
令高斯符號\([a]\)表示小於或等於\(a\)的最大整數。已知\(x,y \in \mathbb{R}^+\)且滿足
\(\cases{(x+[y])^2=2025.114\cr ([x]+y)^2=2025.1911}\)，求\([x-y]\)的最大值為　　　。
[解答]
x=x1+x2
y=y1+y2
其中x1,y1是正整數
因2025.114<2025.1911
=>x2<y2
2025=45^2
欲令x-y最大=>x1=45,y1=0
=>x-y=45+(x2-y2)<45=>[x-y]=44

13.
空間中一球面\(S\)：\(x^2+y^2+z^2=4\)，一平面\(E\)：\(y-z=2\)，若\(C\)為\(E\)與\(S\)所截的圓，則此圓\(C\)在\(xy\)平面投影的曲線方程式為　　　。
[解答]
投影圖形為橢圓
y-z=2
抓端點
y=0,z=-2
y=2,z=0
中點(x,1,-1)=>x=±sqrt(2)
=>x^2/2+(y-1)/1=1
題目有給是投影到xy平面
我覺得如果答案強迫與z=0聯立才給對的話
會有點過於惡意

作者: zj0209 時間: 2025-4-22 12:52

謝謝 cut6997 老師！

作者: peter0210 時間: 2025-4-22 12:57

填充5
已知銳角\(\triangle ABC\)的垂心為\(H\)，外心為\(O\)，\(\overline{BC}\)之中點為\(M\)。今自頂點\(A\)向\(\overline{BC}\)作垂線交於\(F\)，若\(HOMF\)為矩形且\(\overline{HO}=5.5\)，\(\overline{OM}=2.5\)，則\(\overline{BC}\)長為　　　。
[解答]

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作者: peter0210 時間: 2025-4-22 14:42

填充11
已知一個非公正硬幣擲出正面機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)、反面機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，今連續擲此硬幣，記錄每次擲出的結果，每次結果互不影響，令隨機變數\(X\)表示第一次看到正面、反面、正面依序出現所需的投擲次數，則\(X\)的期望值為　　　。
[解答]

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作者: peter0210 時間: 2025-4-22 19:42

計算一
已知實數\(a,b\)滿足\(a+b\ge 3\)，試證：\(|\;a-2b^2|\;+|\;b-2a^2|\;\ge 6\)。(限用現行高中課綱內的方法)

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作者: sda966101 時間: 2025-4-22 23:44

已知實數\(a,b\)滿足\(a+b\ge 3\)，試證：\(|\;a-2b^2|\;+|\;b-2a^2|\;\ge 6\)。(限用現行高中課綱內的方法)

我想請問計算一這樣寫哪邊有欠缺考慮？

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作者: thepiano 時間: 2025-4-23 06:02 標題: 回覆 9# sda966101 的帖子

已知實數\(a,b\)滿足\(a+b\ge 3\)，試證：\(|\;a-2b^2|\;+|\;b-2a^2|\;\ge 6\)。(限用現行高中課綱內的方法)

最後一行後面有疑慮

可先證明 2(a^2 + b^2) >= (a + b)^2 > a + b
|(a + b) - 2(a^2 + b^2)|
= 2(a^2 + b^2) - (a + b)
>= (a + b)^2 - (a +b)
= (a + b)(a + b - 1)
>= 3 * 2
= 6

作者: yuhui1026 時間: 2025-5-7 15:43 標題: 計算2

坐標平面上，\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，\(O\)為原點，\(P\)為\(\Gamma\)上一點，過\(P\)點作\(\Gamma\)的切線\(L\)，若\(O\)在\(L\)上的投影點為\(N\)，求\(\triangle OPN\)面積的最大值，此時\(P\)點坐標為何？
[解答]
若有錯誤請多指教~謝謝！
也想知道有沒其他證明方法

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作者: ruee29 時間: 2025-8-12 00:11

整理了一些解答，供參考
回覆yuhui1026老師
計算二小弟原本試另一個切線公式，但沒寫出來 ~
後來先找O的投影點，面積用行列式處理，後面寫法就一樣了

填充11: 小弟寫錯了補上豪老師的寫法

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作者: tayyu 時間: 2025-10-8 09:48 標題: 回覆 7# peter0210 的帖子

請問為什麼只需討論這三種情形而已

作者: tayyu 時間: 2025-10-8 11:32 標題: 回覆 12# ruee29 的帖子

第11題的寫法不是很理解,再請教老師們

作者: ruee29 時間: 2025-10-8 13:51 標題: 回覆 14# tayyu 的帖子

已知一個非公正硬幣擲出正面機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)、反面機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，今連續擲此硬幣，記錄每次擲出的結果，每次結果互不影響，令隨機變數\(X\)表示第一次看到正面、反面、正面依序出現所需的投擲次數，則\(X\)的期望值為　　　。

考慮先丟出 “正反” 期望值為1/p=9/2  (幾何分布) （左式解釋有誤修改 3+3/2=9/2）
將...正反正分成
(1) ...正反”正”
               1/3*1
(2) ...正反”反”...正反正.
               2/3(1+E）

[ 本帖最後由 ruee29 於 2026-1-17 10:16 編輯 ]

作者: tayyu 時間: 2025-10-8 14:22 標題: 回覆 15# ruee29 的帖子

謝謝您的說明,我懂了

作者: ruee29 時間: 2025-10-10 23:38

和同事討論時，發現第一行用幾何分布解釋，沒有符合幾何分布中，隨機變數的定義。
(舉例第一次丟出正反正的期望值變成27/2，這是很明顯不對的)
(出現正反的期望值應該可想成彩券蒐集問題來解釋)
試著用另外一種寫法

[ 本帖最後由 ruee29 於 2026-1-17 10:22 編輯 ]

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作者: duncan0804 時間: 2026-1-14 10:08

請教各位老師第11題

這樣寫的問題在哪裡？

圖片附件: 螢幕擷取畫面 2026-01-14 100547.png (2026-1-14 10:08, 35.38 KB) / 該附件被下載次數 33
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7728&k=1f9a8dcf6356ce03efbcbd9928d2f8fe&t=1769618417

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