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標題: 114湖口高中 [打印本頁]
作者: 過課    時間: 2025-4-20 20:39     標題: 114湖口高中

想請教6、7、9。
考試粗心錯太多....估計沒機會了。

附件: 114年高中教師甄選【數學科】試題卷.pdf (2025-4-20 20:39, 256.26 KB) / 該附件被下載次數 1914
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附件: 114年高中教師甄選【數學科】填充題參考答案.pdf (2025-4-20 20:39, 96.58 KB) / 該附件被下載次數 1779
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作者: thepiano    時間: 2025-4-20 21:18     標題: 回覆 1# 過課 的帖子

第 7 題
(α + 2)^3 + 2(α + 2) - 1 = 0
(β + 2)^3 + 2(β + 2) + 1 = 0

α + 2 = a，β + 2 = b

a^3 + b^3 + 2(a + b) = 0
(a + b)(a^2 - ab + b^2 + 2) = 0
(a + b)[(a - b/2)^2 + (3/4)b^2 + 2)] = 0
a + b = 0

α + β = -4
作者: thepiano    時間: 2025-4-20 21:57     標題: 回覆 1# 過課 的帖子

第 9 題
y^2 = 8x
焦點 F(2，0)，準線 x = -2

FA = 4，可取 A(2，4)
FB = 10，可取 B(8，-8)
AB = 6√5，直線 AB：y = -2x + 8

當 △APB 面積最大時，P 為直線 y = -2x - 1 與 y^2 = 8x 之切點
易知 P(1/2，-2)

P 到直線 AB 之距離 = 9/√5
△APB = 27

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-20 22:01 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2025-4-20 21:57

引用:
原帖由 過課 於 2025-4-20 20:39 發表
想請教6、7、9。
考試粗心錯太多....估計沒機會了。
#6
令log(9,α)=log(12,β)=log(16, α+β)=k
得16^k=β²/α =α+β ,解出β/α=(√5+1)/2
所求=log(25,(α²+β²)/(αβ))=log(25,β/α+α/β)
=log(25,√5)=1/4

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-20 22:03 編輯 ]
作者: bugmens    時間: 2025-4-20 22:21

1.
集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,20 \}\;\)，試求在集合\(A\)中任取三數恰出現兩個連續整數的機率為　　　。

記上1號到10號的卡片各一張混在一起，而由其中任取三張，則恰有二張是連續整數的機率是多少？
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=5505

2.
已知\(a,b,c\)為正實數。若11,21,31是方程式\(\displaystyle a^{\frac{1}{x}}b^{\frac{1}{x+3}}c^{\frac{1}{x+6}}=10\)的三個根，則\(abc\)的值為　　　。

若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{3}+\frac{b}{4}+\frac{c}{6}=\frac{a}{4}+\frac{b}{5}+\frac{c}{7}=\frac{a}{6}+\frac{b}{7}+\frac{c}{9}=1\)，則\(a+b+c=\)　　　
(113竹東高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3883&page=1#pid26483)

6.
若兩正數\(\alpha,\beta\)滿足\(log_9\alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta)\)，則\(\displaystyle log_{25}\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta}\)的值為　　　。

7.
設實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\alpha^3+6\alpha^2+14\alpha+11=0\)和\(\beta^3+6\beta^2+14\beta+13=0\)，則\(\alpha+\beta\)的值為　　　。

8.
求值：\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+3^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4)}=\)　　　。(化為最簡)

若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
(101全國高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=1#pid6029)

10.
設實係數四次多項式函數\(f(x)\)的最高次項係數為1，若\(f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9\)，則\(f(-7)+f(11)\)之值為　　　。

11.
設\(z=1+cos20^{\circ}+isin20^{\circ}\)，若\(z^n \in \mathbb{R}\)且\(30<n<300\)，\(n\in \mathbb{N}\)，則所有\(n\)值的和為　　　。

12.
已知\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，試求\([(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2004}]\)的個位數為　　　。

若\(n\)是大於\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\)的最小整數，試求\(n\)之值？
(100高師大附中代理，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841)
作者: godofsong    時間: 2025-4-20 22:32     標題: 回覆 1# 過課 的帖子

給各位老師參考，有不足的地方請指正，謝謝！

附件: 04200504湖口高中114年教甄試題解析.pdf (2025-4-20 22:32, 1.79 MB) / 該附件被下載次數 1883
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7440&k=80037824997ae9fd79892aceb4ab10c7&t=1769623585
作者: 過課    時間: 2025-4-20 23:01

謝謝鋼琴老師、橢圓老師。



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