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標題: 114景美女中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-4-13 18:46 標題: 114景美女中

114景美女中

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作者: bugmens 時間: 2025-4-13 19:51

2.
已知\(\triangle ABC\)的三邊長為連續三個正整數，且最大角是最小角的2倍，則\(\triangle ABC\)的面積為　　　。
(我的教甄準備之路　邊長為正整數的三角形，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078)

3.
空間中，設\(\triangle ABC\)的三邊長\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{AC}=5\)、\(\overline{BC}=7\)，另有一點\(P\)滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}=\frac{25\sqrt{3}}{3}\)，則錐體\(P-ABC\)的體積為　　　。

4.
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{3n}}\right)=\)　　　。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

6.
數列\(\langle a_n \rangle\)滿足遞迴關係式\(\cases{\displaystyle a_1=1\cr a_{n+1}=\frac{n}{n+2}a_n，n是正整數}\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n=\)　　　。

作者: CYC 時間: 2025-4-15 21:52

請問填充6、填充12

作者: cut6997 時間: 2025-4-15 23:47 標題: 回覆 3# CYC 的帖子

6.寫前幾項易知由第3項開始ak為2/(k(k+1))=2(1/k-1/(k+1))
所求=1+1/3+2(1/3-1/101)=2-2/101=200/101

12.因OAD與OAB為正三角形,令D在BC的投影點為D',O為正方形DABD'中心，且高為sqrt2
定座標O(0,0,sqrt2)A(1,1,0),B(1,-1,0),C(-1,1,0),D(-3,-1,0)
做兩平面法向量夾角後，觀察圖形cos取負

作者: CYC 時間: 2025-4-16 07:34 標題: 回覆 4# cut6997 的帖子

謝謝cut6997老師我試試看

作者: godofsong 時間: 2025-4-17 18:25 標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

想請教填充3、11、13題，謝謝！

作者: thepiano 時間: 2025-4-17 21:48 標題: 回覆 6# godofsong 的帖子

第 13 題
請參考 https://math.pro/db/thread-2449-1-1.html

作者: cut6997 時間: 2025-4-17 22:02 標題: 回覆 6# godofsong 的帖子

3.P至三點距離相同=>投影點為外心。
靠三角形面積=海龍公式=abc/4R，可求得外接圓半徑=>可由畢氏定理求高=>可求體積

11.互為反函數對稱y=x又是正三角形角平分線佔30度，故與y=log_a (x)的交點為
邊長*(cos15度,sin15度),帶入可求得a

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-4-17 22:09 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2025-4-17 22:14

填14
所求=2[(1+1/2)*(1/2)/2 +(1/2)*(√3/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)²*7π/6]
=(3/4)+(√3/4)+7π/24

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-17 23:08 編輯 ]

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作者: godofsong 時間: 2025-4-18 18:27 標題: 回覆 8# cut6997 的帖子

謝謝鋼琴老師跟cut6997老師解答！感謝

作者: LingZ 時間: 2025-4-21 15:10

想請問填充10

作者: cut6997 時間: 2025-4-21 17:28 標題: 回覆 11# LingZ 的帖子

炸開如下
10.AB，AC切圓=>AC=AB=1
A(0,0)
B(1,0)
C(cosA,sinA)
所求AB．AC=cosA
計算AP=sAB+tAC
=>s=1/4,t=1/2
=>P(1/4+1/2cosA,1/2sinA)
因B為切點=>圓心O(1,k)
OP=OB=OC=>(3/4-1/2cosA)^2+(k-1/2sinA)^2=k^2=(1-cosA)^2+(k-sinA)^2
消k^2
=>13/16-3/4cosA-ksinA=0
2-2cosA-2ksinA=0
消ksinA
=>cosA=3/4

作者: LookBack 時間: 2025-4-28 00:35

想請教各位老師填充5、9，謝謝！

作者: thepiano 時間: 2025-4-28 05:32 標題: 回覆 13# LookBack 的帖子

第 5 題
BD：CD = △APB：△CPA = 9：8
向量 AD = (8/17)向量 AB + (9/17)向量 AC

△BPD = (9/17)△BPC = (9/17)(7/9)△APB = (7/17)△APB
PA：PD = 17：7
PA = (17/24)AD
AD = (24/17)PA

(24/17)向量 PA = (8/17)向量 AB + (9/17)向量 AC
向量 PA = (1/3)向量 AB + (3/8)向量 AC

第 9 題
第一局結束時，在甲袋中有黑球的情形如下：

(1)先自甲袋中取 4 顆白球放入乙袋，再從乙袋中任取 5 顆球放入甲袋
機率 C(5，4)/C(7，4) = 1/7

(2)先自甲袋中取 3 顆白球 1 顆黑球放入乙袋，再從乙袋中任取 5 顆球放入甲袋
機率 [C(5，3) * C(2，1)]/C(7，4) = 4/7

(3)先自甲袋中取 2 顆白球 2 顆黑球放入乙袋，再從乙袋中取 4 顆白球 1 顆黑球放入甲袋
機率 {[C(5，2) * C(2，2)]/C(7，4)} * {[C(5，4) * C(2，1)]/C(7，5)} = 20/147

(4)先自甲袋中取 2 顆白球 2 顆黑球放入乙袋，再從乙袋中取 3 顆白球 2 顆黑球放入甲袋
機率 {[C(5，2) * C(2，2)]/C(7，4)} * {[C(5，3) * C(2，2)]/C(7，5)} = 20/147

所求 = (20/147 + 20/147)/(1/7 + 4/7 + 20/147 + 20/147) = 8/29

作者: LookBack 時間: 2025-4-28 22:15 標題: 回覆 14# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師詳細的解釋，我看懂了，謝謝！

作者: ruee29 時間: 2025-7-29 22:47

整理了一些解答，供參考~

附件: 114景美女中(1).pdf (2025-7-29 22:47, 968.35 KB) / 該附件被下載次數 597
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7667&k=b5dd8b4a25e701e8129e9e5401c5968a&t=1769613350

附件: 114景美女中(2).pdf (2025-7-29 22:47, 1.01 MB) / 該附件被下載次數 568
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