標題: 114豐原高中 [打印本頁]

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作者: kobelian    時間: 2025-4-13 10:17     標題: 114豐原高中

114豐原高中

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作者: bugmens    時間: 2025-4-13 12:20

7.
在坐標平面上，點\(Q\)坐標為\((6,8)\)。考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。若\(\triangle P_1P_2P_3\)的面積為9，則\(\overline{OP_1}\)最大值為　　　。

在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a=\overline{OP_1}\)。
(1)試求\(sin(\angle P_1OP_3)\)。
(2)試以\(a\)表示\(\Delta P_1P_2P_3\)的面積。
(3)假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。
(106數甲)

11.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{16n^2-1^2}+\sqrt{16n^2-3^2}+\sqrt{16n^2-5^2}+\ldots+\sqrt{16n^2-(2n-1)^2}\right)\)的值為　　　。

12.
甲、乙、丙、丁四人玩傳球遊戲，規定每次必須將球傳給其他三人的其中一人，且每人接到球的機會均等。若一開始球在甲手上，設\(n\)次傳球後，球在甲手上的機率為\(P_n\)，則\(log_9(4\cdot P_{114}-1)\)的值為　　　。

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作者: Andye    時間: 2025-4-14 00:15

想問老師 10. 該怎麼做，感謝

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作者: anyway13    時間: 2025-4-14 01:16     標題: 第10題請參考

第10題請參考

Deepseek算的  整理給老師參考

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作者: godofsong    時間: 2025-4-14 20:57     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

請教各位老師第9、11、16題，以及第12題的樣本空間，謝謝！

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作者: Ellipse    時間: 2025-4-14 21:16

引用:

原帖由 godofsong 於 2025-4-14 20:57 發表
請教各位老師第9、11、16題，以及第12題的樣本空間，謝謝！

#11

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作者: satsuki931000    時間: 2025-4-14 21:31     標題: 回覆 5# godofsong 的帖子

12. 樣本空間個數\(3^n\)
事件個數\(\displaystyle \frac{3^n+3(-1)^n}{4}\)
一般化機率\(\displaystyle \frac{3^n+3(-1)^n}{4\times 3^n}\)

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作者: satsuki931000    時間: 2025-4-14 21:50

計算2
由\(\displaystyle sinB=\frac{AF}{AH} \Rightarrow \overline{AH}=\frac{bcosA}{sinB}\)

且\(\displaystyle tanB=\frac{CD}{DH}=\frac{bcosC}{tanB} \Rightarrow \overline{DH}=\frac{bcosBcosC}{sinB}\)

所求\(\displaystyle \frac{AH}{DH}=\frac{cosA}{cosBcosC}=\frac{-cos(B+C)}{cosBcosC}=tanBtanC-1\)

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作者: Andye    時間: 2025-4-15 01:00     標題: 回覆 4# anyway13 的帖子

感謝老師幫忙解惑！

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作者: godofsong    時間: 2025-4-15 07:51     標題: 回覆 7# satsuki931000 的帖子

謝謝橢圓老師及satsuki老師解答！

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作者: Dragonup    時間: 2025-4-15 12:20     標題: 回覆 5# godofsong 的帖子

第九題.


[ 本帖最後由 Dragonup 於 2025-4-15 12:34 編輯 ]

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作者: godofsong    時間: 2025-4-15 18:18     標題: 回覆 11# Dragonup 的帖子

謝謝老師解答！感恩

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作者: zj0209    時間: 2025-4-15 18:43

想請教一下第8題 謝謝！

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作者: thepiano    時間: 2025-4-15 20:37     標題: 回覆 13# zj0209 的帖子

第 8 題
ix^2 - (i + 1)x + λ = 0
(λ - x) + [x(x - 1)]i = 0
λ = x = 0 or 1
(1) 當 λ = 0，方程式有實根 0
(2) 當 λ = 1，方程式有實根 1
(3) 當 λ 不為 1 且不為 0，方程式有兩虛根

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作者: cut6997    時間: 2025-4-15 20:55     標題: 回覆 13# zj0209 的帖子

提供一個比較笨的方法
公式解得((i+1)±sqrt((i+1)^2-4Li))/2i
因為分母為純虛數，欲要實數解，則須讓分子也為純虛數
=>根號內的判別式需得出(ki±1)^２的形式削去外部的1
=>(i+1)^2-4Li=(2-4L)i=-k^2±2ki+1
=>1-2L=±k,且-k^2+1=0
=>(1-2L)^2-1=0=>4L^2-4L=0=>L(L-1)=0=>L=0,1

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作者: zj0209    時間: 2025-4-15 22:35

謝謝thepiano ，cut6997老師！

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作者: lisa2lisa02    時間: 2025-4-16 10:46

填充13我假設座標，雖然算得出來，但計算實在冗長，想問問其他方法，謝謝！

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作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-16 14:00

引用:

原帖由 lisa2lisa02 於 2025-4-16 10:46 發表
填充13我假設座標，雖然算得出來，但計算實在冗長，想問問其他方法，謝謝！

想法：
已知為\(A\)到平面\(BEF\)的距離，所以考慮用四面體\(A-BEF\)體積來列式。

過程：
設\(AD=x\)，\(EG＝\frac{\sqrt{3}x}{2}\)
利用\(\angle EBG=30°\)知，\(BE=\sqrt{3}x\)，故\(AB=\sqrt{2}x\)
因此可得\(△BEF\)的三邊長為，\(BF=\frac{\sqrt{6}x}{2}\)，\(EF=\frac{\sqrt{6}x}{2}\)，故\(△BEF\)面積\(=\frac{3x^2}{4}\)
又\(△ABE\)面積\(=\frac{\sqrt{2}x^2}{2}\)
因為四面體\(A-EBF\)體積\(=\frac{1}{3} \times △ABE面積 \times EG＝\frac{1}{3} \times △BEF面積 \times 2\)
解得\(x=\sqrt{6}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-16 20:27 編輯 ]

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作者: lisa2lisa02    時間: 2025-4-16 23:16     標題: 回覆 18# Jimmy92888 的帖子

謝謝老師的回覆!

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作者: peter0210    時間: 2025-4-17 21:08

填充10

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作者: pollens    時間: 2025-4-18 00:15

想請教填充4 謝謝

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作者: peter0210    時間: 2025-4-18 11:01

填充16

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作者: cut6997    時間: 2025-4-18 11:07     標題: 回覆 21# pollens 的帖子

4.APC共線BPD共線
感謝鋼琴老師訂正

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-4-18 12:52 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2025-4-18 11:27     標題: 回覆 23# cut6997 的帖子

應是 P = (2/3)A + (1/3)C = (5/6)B + (1/6)D
2/3 + (1/3)z^2 = (5/6)z + (1/6)z^3
z^3 - 2z^2 + 5z - 4 = 0
(z - 1)(z^2 - z + 4) = 0

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-18 11:33 編輯 ]

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作者: godofsong    時間: 2025-4-18 18:34     標題: 回覆 22# peter0210 的帖子

謝謝peter老師解答！感恩！

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作者: KYL    時間: 2025-4-20 02:53     標題: 想請教填充15題 謝謝

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作者: thepiano    時間: 2025-4-20 05:53     標題: 回覆 26# KYL 的帖子

第 15 題
過左上角黑點的捷徑有 [5!/(2!3!)] * [5!/(4!1!)] = 50 條
過右下角黑點的捷徑也有 50 條

過左下角黑點的捷徑有 [3!/(2!1!)] * [7!/(4!3!)] = 105 條
過右上角黑點的捷徑也有 105 條

全部的捷徑有 10!/(6!4!) = 210 條

所求 = (50 * 2 + 105 * 2)/210 = 31/21

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作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-20 06:25     標題: 回覆 26# KYL 的帖子

令四個黑點分別為P1、P2、P3、P4，
設X為從A到B的捷徑中經過標示點的個數，
Xi為捷徑經過Pi點次數
pi為捷徑經過Pi點的機率
所以，
E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=1．p1+1．p2+1．p3+1．p4=31/21


另一個算法，是以經過點的個數乘以機率，但這個機率的計算很複雜，不妨可以用兩個點的情形來觀察，會發現兩者的結果是相同的，如下。符號的部分就不另外說明：
恰過1點的機率：P1∩(P2)'+(P1)'∩P2
恰過2點的機率：P1∩P2
E=1．P1∩(P2)' + 1．(P1)'∩P2 + 2．P1∩P2＝P1+P2

直接計算可以得到，經過4點的機率為0，經過3點(2種)的機率為3/35，經過2點(3種)的機率為3/7，經過0點的機率為13/105 (用加法原理)，故經過1點的機率為38/105。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-20 16:53 編輯 ]

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作者: KYL    時間: 2025-4-20 19:00     標題: 回覆 27 28# thepiano Jimmy92888的帖子

感謝鋼琴老師與Jimmy92888老師指點，但想請教一個問題
經過3點的機率為18/210=3/35，但每一條完整捷徑發生的機率不同，為何可以用古典機率模型計算呢?
ex: (上,上,上,上,右,右,右,右,右,右)的機率=(1/2)^4
      (右,右,右,右,右,右,上,上,上,上)的機率=(1/2)^6
還是題目所說的每條捷徑機會均等意旨"完整捷徑"?
以上有錯誤觀念再麻煩糾正 謝謝

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作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-20 19:26     標題: 回覆 29# KYL 的帖子

確實如老師所言，因為題目已經說明："每條捷徑的機會均等"，因此採路徑數的比例計算，而不是每個路口的方向選擇計算機率。

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作者: KYL    時間: 2025-4-20 20:43     標題: 回覆 30# Jimmy92888的帖子

感謝 Jimmy92888老師 我明白我錯誤的地方了

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作者: wow    時間: 2025-4-28 10:36

請問第二題的四邊形有唯一嗎
不知道要從什麼方向切入

另外想問一下第九題
請問為什麼IE=ID所以投影點就會重疊呢 另外EIB為什麼等於60度
抱歉...想很久還是想不出來 跪求大大解答

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作者: thepiano    時間: 2025-4-28 11:26     標題: 回覆 32# wow 的帖子

第 2 題
不用管唯一不唯一
AB^2 + AD^2 = AB^2 + AC^2 = 2(BM^2 + AM^2)
10^2 = 2(4^2 + AM^2)
AM = √34

第 9 題
∠BAI = ∠CAI = x∘，∠ABI = ∠CBI = y∘
∠BIC = 90∘ + (1/2)∠BAC = 90 + x∘
∠BIE = 180∘ - ∠BIC = 90 - x∘

設 AE > AD
作 IM 垂直 AC 於 M，IN 垂直 AB 於 N
則 M 在線段 CD 上，N 在線段 AE 上
由於 ID = IE，△IMD 和 △INE 全等
∠DIM = ∠EIN = ∠BIN - ∠BIE = (90∘ - y∘) - (90∘ - x∘) = x∘ - y∘
∠IDM = ∠BAC + ∠ABI = 2x∘ + y∘

(x∘ - y∘) + (2x∘ + y∘) = ∠DIM + ∠IDM = 90∘
x = 30
∠BAC = 60∘

所求 = 6/(2sin∠BAC) = 2√3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-28 13:38 編輯 ]

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作者: gancallan    時間: 2025-4-29 20:15     標題: 回覆 32# wow 的帖子

第9題也可以用正弦:
AI / IE=sin(ㄥAEI) /sin(ㄥA/2)
AI / ID=sin(ㄥADI) /sin(ㄥA/2)
由於IE=ID,可得sin(ㄥAEI)=sin(ㄥADI)
因此ㄥAEI=ㄥADI 或 ㄥAEI＋ㄥADI＝180度
所以ㄥB+(ㄥC/2)=ㄥC+(ㄥB/2) 或 [ㄥB+(ㄥC/2)]＋[ㄥC+(ㄥB/2)]＝180度
即ㄥB=ㄥC (不合)  或 ㄥB＋ㄥC=120度.
故ㄥA＝60度

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作者: wow    時間: 2025-4-30 01:14

回覆 33# thepiano 的帖子
回覆 34# gancallan 的帖子

了解了 感謝兩位老師的指導!

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作者: ruee29    時間: 2025-7-7 17:26

看到有老師詢問，剛好有整理，也有參考老師們的寫法
供參考
填充5  有筆誤，更正為sinB/sinA

[ 本帖最後由 ruee29 於 2025-7-7 18:43 編輯 ]

附件: 114豐原高中(1).pdf (2025-7-7 17:26, 1.1 MB) / 該附件被下載次數 877
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7637&k=539894142a25f1f54a88fe06e33cbb0e&t=1769613349

附件: 114豐原高中(2).pdf (2025-7-7 17:26, 1.1 MB) / 該附件被下載次數 810
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