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標題: 114文華高中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2025-4-12 17:18 標題: 114文華高中

114文華高中

附件: 114學年度第1次教師甄選數學科--試題(公告).pdf (2025-4-12 17:18, 163.03 KB) / 該附件被下載次數 2832
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作者: bugmens 時間: 2025-4-12 17:28

5.
有一長方形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=10\)，\(\overline{BC}=5\)，如圖(一)，將長方形沿對角線\(\overline{BD}\)折起，使得\(\triangle ABD\)與\(\triangle BCD\)夾\(60^{\circ}\)，則\(cos(\angle ADC)=\)　　　。

7.
雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{(y-2)^2}{4}=1\)有一弦以\((-5,4)\)為中點，則此弦的方程式為　　　。
相關問題https://math.pro/db/thread-232-1-1.html

8.
已知複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)，則\(|\;z-6|\;^2+|\;z+2i|\;^2\)之最小值為　　　。
(類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

11.
有一「八面體」，其展開圖如圖(二)，由四個正三角形及四個正六邊形組成。已知各邊邊長為2單位長，則此八面體的體積為　　　。

12.
設\(f(x)=3x^{20}+192x^{8}+3\)，\(g(x)=x^3-3x^2+4x-2\)，\(f(x)=0\)的二十個複數根為\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{20}\)，則\(g(\alpha_1)\times g(\alpha_2)\times\ldots \times g(\alpha_{20})=\)　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2254

14.
已知數列\(\langle a_n \rangle\)滿足前\(n\)項和\(S_n=n^2+4n+3\)。以符號\(\mu_n\)表示前\(n\)項的算數平均數，\(\rho_n\)表示前\(n\)項的標準差，試求：\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\rho_n^2}{\mu_n^2}\)之值　　　。

15.
設等差數列\(\langle a_n \rangle\)的前\(n\)項和為\(T_n\)，等差數列\(\langle b_n \rangle\)的前\(n\)項和為\(S_n\)。對任意正整數\(n\)，\(\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^n T_k}{\sum_{k=1}^n S_k}=\frac{2n+3}{3n+4}\)恆成立，則\(\displaystyle \frac{a_7}{b_{10}}=\)　　　。

二、計算題
2.
已知實數\(x\)滿足\(\displaystyle \left[x^2\right]-\left[x\right]^2=\frac{17}{4}-x\)，其中\(\left[x \right]\)表示不大於\(x\)的最大整數，試求：\(x\)的所有解。

作者: vln0106 時間: 2025-4-14 09:11 標題: 回覆 1# weiye 的帖子

想問12，13 感謝老師

作者: peter0210 時間: 2025-4-14 10:44

填充12

圖片附件: 填充12.png (2025-4-14 10:44, 22.46 KB) / 該附件被下載次數 1578
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7415&k=ab400c40f6bd80733782270979ba8042&t=1769618405

作者: Ellipse 時間: 2025-4-14 10:55

引用:

原帖由 vln0106 於 2025-4-14 09:11 發表
想問12，13 感謝老師

#12
g(x)=x^3-3x^2+4x-2=(x-1)[x-(1+i)][x-(1-i)]
所求=f(1)*f(1+i)*f(1-i)/3^3=66

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-14 10:57 編輯 ]

作者: superlori 時間: 2025-4-14 11:53 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

ax^2+bx+c>=0恆成立=>b^2-4ac<=0----(1)
所求 (4a+3b+2c)/(b-a) 分子分母同除以a可得到
所求=[4+3(b/a)+2(c/a)]/(b/a-1)
令p=b/a,q=c/a
所求即為(4+3p+2q)/(p-1)>=[4+3p+(p^2/2)]/(p-1)
(由(1)可得知p^2<=4q)
令f(p)=[4+3p+(p^2/2)]/(p-1)
利用微分可求得f(p)的極值

作者: cut6997 時間: 2025-4-14 16:26

請教填充第2題
我雖然會硬解
AC^2=3^+9^-54cosD=5^+9^+90cosD
=>cosD=-1/9
sinD=sqrt(80/81)
AC^2=96
再令H為D在AC上的垂足則2倍ADC面積=3*9*sinD=sqrt(96)*DH
=>DH=sqrt(30/4)=>CH=sqrt(3/2)
=>CA=8CH
因CB和CD的垂直分量須相消又比例為5:3
=>x=4=>y=4*(3/5)=12/5
可是這格才4分，感覺應該不是這樣算(雖然這份第10題直接看答案就6分...)
---------
感謝瑋岳老師

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-4-14 18:35 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2025-4-14 18:22 標題: 回覆 7# cut6997 的帖子

填充第 2 題：

設 \(\overline{AC}\) 與 \(\overline{BD}\) 交於 \(E\)，

由於 \(ΔABE∼ΔDCE\)，得 \(\overline{AE}: \overline{DE} = \overline{BE}: \overline{CE} =\overline{AB}:\overline{DC} = 9:3\)。

由於 \(ΔADE∼ΔCBE\)，得 \(\overline{AE}: \overline{BE} = \overline{DE}: \overline{CE} =\overline{AD}:\overline{BC} = 9:5\)。

由上兩式，得 \(\overline{AE} : \overline{BE} : \overline{CE} : \overline{DE} = 27 : 15 : 5 : 9\) 。

由分點公式，得 \(\displaystyle \vec{CE} = \frac{3}{8} \vec{CB} + \frac{5}{8} \vec{CD}\) 。

再將 \(\vec{CE}\) 伸縮，得 \(\displaystyle \vec{CA} = \frac{32}{5} \vec{CE} = \frac{12}{5} \vec{CB} + 4 \vec{CD}\) 。

作者: godofsong 時間: 2025-4-14 20:53 標題: 回覆 1# weiye 的帖子

請教各位老師第6、9、15題，謝謝！

作者: cut6997 時間: 2025-4-14 21:42 標題: 回覆 9# godofsong 的帖子

6.7顆排完插空，分子先丟一個到最後一格，分母是全部=C(7,1)/C(8,2)

9.兩式相減:0=x^4+0x^3+ax^2+(b-c)x+(3-a)=(x-A)^2(x-B)^2
由根與係數得B=-A,a=A^2+4AB+B^2=-2A^2,3-a=A^4
可解得A^2=3 =>a=-6

15.令a1=a0+d1,b1=a0+d2
則sum(T_k)=(n(n+1)/2)a0+(n(n+1)(n+2)/6)d1,sum(S_k)=(n(n+1)/2)b0+(n(n+1)(n+2)/6)d2
約分比較係數=>d1=2,a0=-1/3,d2=3,b0=-2/3
a7/b10=(a0+7d1)/(b0+10d2)=(-1/3+14)/(-2/3+30)=41/88

作者: lisa2lisa02 時間: 2025-4-14 23:19

想請教計算2、3，謝謝
計算2、3已解決，謝謝鋼琴老師！

[ 本帖最後由 lisa2lisa02 於 2025-4-15 18:09 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2025-4-14 23:38 標題: 回覆 11# lisa2lisa02 的帖子

計算第 3 題
AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 * 1 * 1 * cos∠AOB
BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 * 1 * 1 * cos∠BOC
CA^2 = 1^2 + 1^2 - 2 * 1 * 1 * cos∠COA

AB^2 + BC^2 + CA^2 = 6 - 2(cos∠AOB + cos∠BOC + cos∠COA)
cos∠AOB + cos∠BOC + cos∠COA = -1
cos∠AOB + cos∠BOC + cos(∠AOB + ∠BOC) = -1
∠AOB + ∠BOC = π
∠ABC = π/2

作者: godofsong 時間: 2025-4-14 23:46 標題: 回覆 10# cut6997 的帖子

謝謝老師解惑！感謝

作者: 黑哥 時間: 2025-4-15 09:43

想請問第10題

作者: lisa2lisa02 時間: 2025-4-15 11:49 標題: 回覆 10# cut6997 的帖子

老師您好，不太懂第15題的作法，能否解釋嗎？
謝謝老師，是我誤會題目意思，已解決，謝謝！

[ 本帖最後由 lisa2lisa02 於 2025-4-15 14:33 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2025-4-15 12:05 標題: 回覆 14# 黑哥的帖子

第 10 題
函數 y = x^2 + 4x + 7 的對稱軸是 x = -2
故 α + β = (-2) * 2 = -4

作者: cut6997 時間: 2025-4-15 13:28

a0+d1
a0+d1,a0+2d1
a0+d1,a0+2d1,a0+3d1
...
a0+d1,...,a0+nd1
直看第k行有(n+1)-k個a0,和((n+1)-k)*k個d1,級數和展開即是原文內的算式
另一個級數同理
算出來的結果應跟右式差一個倍數，但因為相除的關係會把倍數消掉，故直接帶入計算即可
----
10.若不考慮複數定義下的對數函數
則根據虛根成對定理，實根必在同一個方程，為-4
p.s.
若考慮題目歧義,將重根視為1個根的話，設兩根為兩組重根。
可得x^2+4x+7-t1與x^2+4x+7-t2的判別式皆為0=>t1=t2=>僅交一點=>矛盾

作者: 黑哥 時間: 2025-4-15 15:21 標題: 回覆 16# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

作者: BambooLotus 時間: 2025-4-17 14:18

10. 要檢驗\( t=x^2+4x+7 \)的實根個數其實很簡單
先把原方程式改寫成\( 3^{t-4}=\log_3t \)，畫出\( y = 3^{x-4} \)和\( y = \log_3x \)，發現他們有2個交點
其中一個只略大於1，但\( t\ge 3\)，所以\(t\)僅有一實根

作者: 黑哥 時間: 2025-4-17 16:22 標題: 回覆 19# BambooLotus 的帖子

謝謝老師的補充

作者: YHL 時間: 2025-4-18 09:15

想請教第7題，謝謝各位老師!

作者: superlori 時間: 2025-4-18 09:45 標題: 回覆 21# YHL 的帖子

假設P(x1,y1),Q(x2,y2)為雙曲線上二點
且P,Q之中點為(-5,4)
可得x1+x2=-10,y1+y2=8
4(x1)^2-9(y1-2)^2=36----(1)
4(x1)^2-9(y1-2)^2=36----(2)
(1)-(2)可得
4(x1+x2)(x1-x2)-9(y1-y2)(y1+y2-4)=0
移項整理得PQ的斜率為-10/9

作者: YHL 時間: 2025-4-18 13:29

謝謝superlori老師

作者: LookBack 時間: 2025-4-21 00:10

想請教各位老師計算題第2題，謝謝！

作者: Jimmy92888 時間: 2025-4-21 07:34 標題: 回覆 24# LookBack 的帖子

因為\(\frac{17}{4}-x=[x^2]-[x]^2\)為整數
令\(x=n+\frac{1}{4}\)，其中\(n\)為整數
代入\([x]^2=[x]^2+\frac{17}{4}-x\)
得\([n^2+\frac{n}{2}+\frac{1}{16}]=n^2+4-n\)
即\(n^2+\frac{n}{2}+\frac{1}{16}-1<n^2+4-n\leq n^2+\frac{n}{2}+\frac{1}{16}\)
解得\(\frac{21}{8}<n\leq \frac{79}{24}\)
故\(n=3\)，即\(x=\frac{13}{4}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-22 05:15 編輯 ]

作者: LookBack 時間: 2025-4-22 00:08 標題: 回覆 25# Jimmy92888 的帖子

謝謝老師，懂了！

作者: wow 時間: 2025-5-8 14:46 標題: 回覆 12# thepiano 的帖子

請問鋼琴大要如何從倒數第三行推到倒數第二行呢
除了積化和差以外
感謝!

作者: thepiano 時間: 2025-5-8 15:51 標題: 回覆 27# wow 的帖子

因為題目要證直角，我只是配合它

作者: wow 時間: 2025-5-10 22:57 標題: 回覆 28# thepiano 的帖子

感謝老師!

作者: duncan0804 時間: 2025-7-10 10:42

想請教填充第一題

謝謝老師

作者: weiye 時間: 2025-7-10 11:19 標題: 回覆 30# duncan0804 的帖子

填充第 1 題：

令 \(P = a^3 -4 a^2 -6a + 4\) 且 \(Q = a^2 -3a +1\)，

利用長除法，得

\(a^3 -4 a^2 -6a + 4 = \left(a^2 -3a +1\right)\left(a-1\right) + \left(-10a + 5\right)\)，

即 \(P = Q\left(a-1\right) + \left(-10a +5\right)\)

\(\Rightarrow \left(Q - 10\right)a + \left(-P-Q+5\right) = 0\)

因為 \(P\) 與 \(Q\) 皆為有理數（得 \(Q-10\) 與 \(-P-Q+5\) 亦為有理數）且 \(a\) 為無理數，

得 \(Q-10=0\) 且 \(-P-Q+5=0\)

\(\Rightarrow Q=10\) 且 \(P = -5\)

\(\Rightarrow Q = a^2 -3a +1 = 10\)

\(\displaystyle \Rightarrow a = \frac{3 \pm 3 \sqrt{5}}{2} \)

又因為題目有說 \(a\) 為正數，

故 \(\displaystyle a = \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2} \)。

作者: ruee29 時間: 2025-7-21 23:57

整理一些解答，供參考~

附件: 114文華(1).pdf (2025-7-21 23:57, 1.91 MB) / 該附件被下載次數 1188
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7659&k=9818cf88903e990f4e54c9f36513e156&t=1769618405

附件: 114文華(2).pdf (2025-7-21 23:57, 790.59 KB) / 該附件被下載次數 1096
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7660&k=c0f78c59e782d361c6b7d5895da81be2&t=1769618405

作者: mandy 時間: 2025-8-9 23:20 標題: 請問填充11、16題如何解？謝謝

[ 本帖最後由 mandy 於 2025-8-9 23:25 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2025-8-10 07:16 標題: 回覆 33# mandy 的帖子

這兩題可參考您留言上面 ruee29 老師辛苦整理的解答
像第 11 題就是邊長 6 的正四面體體積減去角落 4 個邊長 2 的正四面體體積

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