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標題: 114永春高中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2025-4-11 22:24 標題: 114永春高中

請教填充第 3, 8, 9 題

114.04.24 補充
學校有更正填充第 3 題的答案

[ 本帖最後由 Superconan 於 2025-4-24 01:44 編輯 ]

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作者: bugmens 時間: 2025-4-11 23:21

1.
對於甲、乙兩袋球，下面的動作稱之為「交換」：分別自甲、乙兩袋中同時取出一球，接著將取自甲袋的球放入乙袋、取自乙袋的球放入甲袋。若甲袋中原有1白球與1黑球，乙袋中原有3白球與3黑球，經過無限多次「交換」後，甲袋中仍有1白球與1黑球的機率會趨近一個定值，求此定值。

7.
已知在\(\triangle ABC\)中，三邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)長度的比例為\(4:6:5\)，其內部一點\(P\)滿足\(\overline{PA}\)、\(\overline{PB}\)、\(\overline{PC}\)的長度分別是8、4、13，試求\(cos(\angle APB)\)之值。

8.
設矩陣\(A=\left[\matrix{7&-8\cr -7&8}\right]\)滿足\((I+A)^n=I+a_nA\)，其中\(n\)為自然數，\(I=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，且\(\{\; a_n\}\;\)為一個數列，請寫出\(a_n\)的一般式(請用\(n\)的代數式表示)。

9.
設數列\(\{\;a_n \}\;\)的一般式為\(\displaystyle a_n=\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})(\sqrt{n}+\sqrt{n+2})}\)，試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k\)之值。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

作者: thepiano 時間: 2025-4-11 23:21 標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

填充第 3 題
a = √(x^2 + x +1)，b = √(2x^2 + x + 5)，c = √(x^2 - 3x + 13)

易知
-7(x^2 + x +1) + 4(2x^2 + x + 5) = x^2 - 3x + 13

a + b = c
-7a^2 + 4b^2 = c^2

-7a^2 + 4b^2 = (a + b)^2
8a^2 + 2ab - 3b^2 = 0
(2a - b)(4a + 3b) = 0
4a + 3b > 0，b = 2a

√(2x^2 + x + 5) = 2√(x^2 + x +1)
2x^2 + 3x - 1 = 0
x = (-3 ± √17)/4

官方答案給錯了

作者: thepiano 時間: 2025-4-12 00:11 標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

填充第 9 題
a_n = (1/2)(√(n + 2) - √n)/[(√(n + 1) + √n)(√(n + 2) + √(n + 1)]

= (1/2)[(√(n + 2) + √(n + 1)) - (√(n + 1) + √n)]/[(√(n + 1) + √n)(√(n + 2) + √(n + 1))]

= (1/2)[1/(√(n + 1) + √n) - 1/(√(n + 2) + √(n + 1))

= (1/2)(√(n + 1) - √n - √(n + 2) + √(n + 1))

再相消就有答案了

作者: nico90015 時間: 2025-4-14 00:10

請教第5題~

作者: Jimmy92888 時間: 2025-4-14 05:19

引用:

原帖由 nico90015 於 2025-4-14 00:10 發表
請教第5題~

已知無窮級數公式，\(\sum r^n=\frac{r}{1-r}\)，\(\sum nr^n =\frac{r}{(1-r)^2}\)
機率和\(＝1\)，得\(a+\frac{b}{2}=1\)
期望值\(=\frac{15}{8}\)，得\(2a+\frac{3b}{4}=\frac{15}{8}\)
解得\(a=\frac{3}{4}\)，\(b=\frac{1}{2}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-14 08:38 編輯 ]

作者: Jimmy92888 時間: 2025-4-14 08:34

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-4-11 22:24 發表
請教填充第 3, 8, 9 題

第8題

由特徵多項式或直接計算，可得\(A^2=15A\)，即\(A^n=15^{n-1}A\)
代入\((I+A)^n\)的二項式展開，即可得\((I+A)^n=I+\frac{16^n-1}{15} A\)
故\(a_n=\frac{16^n-1}{15}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-14 13:40 編輯 ]

作者: CYC 時間: 2025-4-14 21:30

請問填充7

作者: thepiano 時間: 2025-4-14 22:38 標題: 回覆 8# CYC 的帖子

第 7 題
在直線 BC 異於 A 的一側，取 BQ = 6 且 ∠PBQ = ∠ABC
△PBQ 和 △ABC 相似，PQ = 5
cos∠BQP = 3/4，sin∠BQP = √7/4

△BQC 和 △BPA 相似，QC = 12，∠CQP = 90度

cos∠APB = cos∠CQB = cos(∠CQP + ∠BQP) = -sin∠BQP = -√7/4

作者: CYC 時間: 2025-4-15 07:45

謝謝鋼琴老師

作者: nico90015 時間: 2025-4-15 13:54 標題: 回覆 6# Jimmy92888 的帖子

謝謝Jimmy92888老師～

作者: LookBack 時間: 2025-4-21 00:27

想請教各位老師填充第1題、計算第2題，謝謝！

下面是關於填充第1題我列的轉移矩陣，
想請問有哪個部分寫錯嗎？官方答案跟我算的不一樣。
令白球：W，黑球：B
以下為關於甲的轉移矩陣：
            1W1B 2W    2B
1W1B  [ 1/2    1/2    1/2 ]
2W [    1/4    1/2       0 ]
2B    [    1/4       0    1/2  ]

作者: cut6997 時間: 2025-4-21 01:16 標題: 回覆 12# LookBack 的帖子

這種無限多次均衡題目通常都是直接當排列看就好...C(4,1)C(4,1)/C(8,2)
然後矩陣的話，感覺除了第一行以外其他都挺怪....
2W->1W1B，此時B中2白4黑，抓黑的回去的機率應該是2/3，2B的同理
估計是沒考慮到乙袋球數變動

作者: nico90015 時間: 2025-4-21 03:06 標題: 回覆 12# LookBack 的帖子

這兩題我是這樣寫不知道有沒有寫錯><

圖片附件: IMG_2991.jpeg (2025-4-21 03:06, 386.83 KB) / 該附件被下載次數 1542
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圖片附件: IMG_2992.jpeg (2025-4-21 03:06, 375.98 KB) / 該附件被下載次數 1504
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7442&k=e7cfb6f61ef3753a8931be86258ba56f&t=1769623583

作者: LookBack 時間: 2025-4-21 23:44 標題: 回覆 13# cut6997 的帖子

謝謝老師提醒，懂了！

作者: LookBack 時間: 2025-4-21 23:48 標題: 回覆 14# nico90015 的帖子

轉移矩陣應該是下面這樣~
謝謝老師的計算題證明，看懂了！

圖片附件: 314994.jpg (2025-4-21 23:48, 56.37 KB) / 該附件被下載次數 1524
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作者: ruee29 時間: 2025-4-30 22:51

整理一些解答，供參考~

附件: 114永春高中.pdf (2025-4-30 22:51, 1.61 MB) / 該附件被下載次數 2121
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