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標題: 114中正高中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2025-4-11 12:52 標題: 114中正高中

請教填充第 1, 2 題、計算第 2 題

114.04.14 補充
學校新增了具標準答案之計算題的答案

[ 本帖最後由 Superconan 於 2025-4-14 22:31 編輯 ]

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作者: bugmens 時間: 2025-4-11 13:11

一、填充題
1.
已知空中有一邊長為\(5\sqrt{2}\)的正四面體，\(A\)為此四面體中距離地面的最近的頂點。而其他三個頂點距離地面距離分別為5、6、7，則\(A\)到地面的距離為　　　。

3.
有一地球儀為半徑4公分的球體，其球心為\(O\)。若地球儀表面上有\(A\)、\(B\)兩點，其中點\(A\)位於東經60度北緯45度、點\(B\)位於西經30度南緯45度，則沿著地球儀表面從點\(A\)走到點\(B\)的最短距離為　　　公分。

有一地球儀，其赤道長為150公分，若\(A\)地位於赤道上東經\(10^{\circ}\)，\(B\)地位於北緯\(45^{\circ}\)，東經\(145^{\circ}\)，求\(AB\)兩地之球面最短距離為　　　公分。
(99台中一中，連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=1433#p4046)

8.
若方程式\(|\;x^2-4x+3|\;-a=x\)恰有4個實根，求實數\(a\)的範圍為　　　。

當方程式 \(\left|x^2-2\left|x\right|\right|=kx+1\) 恰有 \(4\) 個相異實根時，\(k\) 值之範圍為何？
(97南港高工，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1018&page=1#pid2498)

二、計算與教學題
4.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項總和為\(S_n\)，已知\(\cases{a_1=1\cr S_{n+1}=4a_n+2}\)，求一般項\(a_n\)。(整理計算或歸納證明之)。
(我的教甄準備之路　數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)

作者: thepiano 時間: 2025-4-11 13:53 標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

計算第 2 題
2xy(x^2 - y^2) = x^2 + y^2
xy(x + y)(x - y) = (x^2 + y^2)/2
(x^2 - xy)(y^2 + xy) = (x^2 + y^2)/2

(x^2 - xy)(y^2 + xy) ≦ [(x^2 - xy + y^2 + xy)^2]/4 = [(x^2 + y^2)^2]/4
(x^2 + y^2)/2 ≦ [(x^2 + y^2)^2]/4
x^2 + y^2 ≧ 2

作者: Jimmy92888 時間: 2025-4-11 16:13

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-4-11 12:52 發表
請教填充第 1, 2 題、計算第 2 題

填充第2題：
化算，得\(\frac{k^2 \log_{k}{7}}{(k^2-1)\log_{k+1}{7}}=\frac{k^2\log{(k+1)}}{(k^2-1)\log{k}}=\frac{k^2}{(k-1)(k+1)} \times \frac{\log{(k+1)}}{\log{k}}\)
分別計算
\(\frac{k^2}{(k-1)(k+1)}\)的乘積\(=\frac{2^2}{1\cdot 3}\times\frac{3^2}{2\cdot 3}\times ... \times\frac{31^2}{30\cdot 32}=\frac{31}{16}\)
\(\frac{\log{(k+1)}}{\log{k}}\)的乘積\(=\frac{\log{3}}{\log{2}}\times\frac{\log{4}}{\log{3}}\times ...\times\frac{\log{32}}{\log{31}}=\frac{\log 32}{\log 2}=5\)
故所求為\(\frac{155}{16}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-11 22:47 編輯 ]

作者: BambooLotus 時間: 2025-4-11 21:18

填充1可以參考老王老師的作法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1125&page=1#pid3424

作者: thepiano 時間: 2025-4-11 22:22 標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

填充第 1 題
設另三個頂點 B、C、D 分別與地面 (z = 0) 的距離分別是 5、6、7
設 E 是 BD 中點，O 是 △BCD 中心
則 C、O、E 三點都在平面 z = 6 上

D 到 z = 6 的距離是 1，又 DE = (5/2)√2
設平面 BCD 和平面 z = 6 的夾角 = DE 和平面 z = 6 的夾角 = θ
則 sinθ = 1/[(5/2)√2] = (1/5)√2

AO = (1/3)√6 * 5√2 = (10/3)√3
AO 和平面 z = 6 的夾角 = π/2 - θ
A 到 z = 6 的距離 = AO * sin(π/2 - θ) = (10/3)√3 * (1/5)√23 = (2/3)√69

所求 = 6 - (2/3)√69

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-11 22:59 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2025-4-12 19:07

填充10

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作者: peter0210 時間: 2025-4-12 20:21

計算5

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作者: LookBack 時間: 2025-4-13 15:42

想請教各位老師填充6、9以及計算題第3題，謝謝

作者: thepiano 時間: 2025-4-13 16:27 標題: 回覆 9# LookBack 的帖子

填充第 9 題
作 BF 垂直直線 AD 於 F，FBCD 是正方形
CE = x，DE = 12 - x ，AF = y，AD = 12 - y
(12 - x)^2 + (12 - y)^2 = 10^2

角 CBE + 角 ABF = 45 度
tan角CBE = x/12，tan角ABF = y/12
(x/12 + y/12) / [1 - (x/12)(y/12)] = 1

可解出 x = 4 or 6

作者: thepiano 時間: 2025-4-13 19:16 標題: 回覆 9# LookBack 的帖子

填充第 6 題
先通分成分母是 x^3
用第一次 L'Hopital's Rule，可得 2 + a = 0，a = -2
再用第二、三次 L'Hopital's Rule，可得 16 + 6b = 0，b = -8/3
字太多就不打了

作者: thepiano 時間: 2025-4-13 21:09 標題: 回覆 9# LookBack 的帖子

計算第 3 題
化簡後，f(x) = 2(cosx)^2 - 4λcosx - 1
令 0 <= t = cosx <= 1
f(t) = 2t^2 - 4λt - 1
圖形對稱軸 t = λ

分別討論以下三種情形
(1) λ < 0，t = 0 時，f(t) 有最小值 -1，不合
(2) 0 <= λ <= 1，t = λ 時，f(t) 有最小值 -2λ^2 - 1 = -11/2，λ = 3/2 or -3/2，不合
(3) λ > 1，t = 1 時，f(t) 有最小值 1 - 4λ = -11/2，λ = 13/8

作者: LookBack 時間: 2025-4-17 00:00

謝謝鋼琴老師的回覆，都懂了！

作者: ruee29 時間: 2025-7-15 13:32

整理一些解答，供參考

附件: 114中正高中.pdf (2025-7-15 13:32, 1.9 MB) / 該附件被下載次數 670
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7655&k=4a4686a7e4f79ab3c0fa23a622f2f325&t=1769618401

作者: Superconan 時間: 2025-12-13 14:38 標題: 回覆 3# thepiano 的帖子

請問老師，倒數第三列這個不等式是怎麼得到的呢？
(x^2 - xy)(y^2 + xy) ≦ [(x^2 - xy + y^2 + xy)^2]/4

作者: thepiano 時間: 2025-12-14 07:18 標題: 回覆 15# Superconan 的帖子

AB ≦ [(A + B)^2] / 4

作者: Superconan 時間: 2025-12-20 20:00 標題: 回覆 16# thepiano 的帖子

謝謝老師，這個式子用以下方法得到的嗎？
(A - B)^2 ≧ 0
(A + B)^2 - 4AB ≧ 0
(A + B)^2 ≧ 4AB

作者: thepiano 時間: 2025-12-22 14:54 標題: 回覆 17# Superconan 的帖子

是的

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