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標題: 114建國中學 [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2025-3-30 22:53     標題: 114建國中學

114建國中學

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作者: Superconan    時間: 2025-3-30 22:59     標題: 回覆 1# weiye 的帖子

請教填充題11.
作者: Jimmy92888    時間: 2025-3-31 09:56

引用:
原帖由 Superconan 於 2025-3-30 22:59 發表
請教填充題11.
設\(x_1、…、x_{25}\)中，有\(p\)個正數\(a_1、…、a_p\)，\(q\)個負數\(b_1、…、b_q\)
\(a_1^2+…+a_p^2+b_1^2+...+b_q^2=1\)、\(p＋q \leq 25\)
令\(K＝a_1＋…＋a_p＝-(b_1＋…＋b_q)\)
原題目即求\(2K\)的最大值
由Cauchy-Schwarz Inequality知
(\(a_i\)平方和)．\(p \geq K^2\)，即(\(a_i\)平方和) \( \geq \displaystyle\frac{K^2}{p}\)
(\(b_j\)平方和)．\(q \geq K^2\)，即(\(b_j\)平方和) \(\geq \displaystyle\frac{K^2}{q}\)

兩式相加，得\(1 \geq K^2 (\displaystyle\frac{1}{p}＋\displaystyle\frac{1}{q})\)
即\(K^2 \leq \displaystyle\frac{pq}{p+q}\)
當\((p , q)=(12,13)\)或\((13,12)\)時，\(2K\)有最大值為\(\displaystyle\frac{4\sqrt{39}}{5}\)
作者: kobelian    時間: 2025-4-1 18:23     標題: 114建國中學

114.4.1版主補充
將官方題目移到第一篇
作者: kobelian    時間: 2025-4-1 18:34     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

請問老師1，7，9
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-1 20:06     標題: 回覆 5# kobelian 的帖子

第1題
設\(\overline{AB}=c\)，\(\overline{AC}=b\)，
令\(\angle CAD=\alpha\)，
得\(\tan\alpha=\tan(\theta-45^{\circ})=\frac{1}{7}\)
因為\( \triangle ABC\)面積\(＝ \triangle ABD\)面積+\( \triangle ACD\)面積，
所以\(\frac{2}{5}bc=\frac{3}{2}c+\frac{3}{10}b\)
再利用算幾不等式，得\(bc\geq \frac{45}{4}\)
就可得\( \triangle ABC\)面積的最小值=\(\frac{2}{5}\times \frac{45}{4}=\frac{9}{2}\)

第7題
將\(\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta\)代入，
令\(x=\sin\theta\)，利用微分，求\(f(x)=\frac{8-2x^2}{3+x}\)在區間\([-1,1]\)的最大值與最小值
若\(f'(x)=\frac{-2x^2-12x-8}{(3+x)^2}=0\)，則\(x=-3\pm\sqrt{5}\)
比較\(f(-1)=3\)，\(f(1)=\frac{3}{2}\)，\(f(-3+\sqrt{5})=12-4\sqrt{5}\)
故\(M=12-4\sqrt{5}\)，\(m=\frac{3}{2}\)

第9題
\(x^2＋y^2＋z^2＝(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=(x+y+z)^2-2xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\)
令\(|x|=|y|=|z|=r\)，得\(|xyz|=r^3=\sqrt{8}\)，
\(x\overline{x}=y\overline{y}=z\overline{z}=r^2=2\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}(\overline{x}+\overline{y}+\overline{z})=\frac{1}{4}(\overline{x+y+z})=-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{4}i\)
所以，\(x^2+y^2+z^2=(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{5}i)^2-2\times (\sqrt{3}+\sqrt{5}i) \times (-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{4}i)=\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{15}}{2}i\)
\(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=\frac{1}{2}Im(x^2+y^2+z^2)=\frac{\sqrt{15}}{4}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 22:13 編輯 ]
作者: Superconan    時間: 2025-4-1 21:11     標題: 回覆 1# weiye 的帖子

請教填充第 2 題
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-1 21:29     標題: 回覆 7# Superconan 的帖子

填充第2題
由三邊長可得，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5\)
因為\(\displaystyle\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}\)
所以\(\displaystyle\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{OA}|^2+\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})=\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=3\)
又\(P\)、\(D\)、\(Q\)在直線\(L\)上，且直線\(L\)垂直直線\(OA\)
所以\(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}=3\)
故\(\displaystyle m=\frac{3}{|\overrightarrow{OA}|^2}=\frac{3}{7}\)，\(\displaystyle n=\frac{3}{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}=\frac{3}{5}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-1 21:45 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2025-4-1 21:47

填充5

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作者: joiuk123    時間: 2025-4-2 15:20     標題: 回覆 1# weiye 的帖子

想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-2 20:41

引用:
原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。
計算第2題第(2)小題
當\(a=0\)時，\(A=B={1}\)，所以後續僅討論\(a\neq 0\)的情形。
首先，求\(A\neq \phi \)的a值限制
\(A=\{x | f(x)=x\}=\{x | ax^2-x+1=0\}\)
判別式\(=(-1)^2-4a\geq 0\)，得\(a\leq \frac{1}{4}\)

其次，求\(A=B\)的\(a\)值限制
\(B=\{x | f(f(x))=x\}=\{x|(ax^2-x+1)(a^2x^2+ax+a+1)=0\}\)
依\(a^2x^2+ax+a+1=0\)的解情形分類討論：
(1)\(a^2x^2+ax+a+1=0\)有兩相異實根，
　此時係數與\(ax^2-x+1=0\)成比例，檢查知\(a\)無解
(2)\(a^2x^2+ax+a+1=0\)有兩相等實根
　判別式=\(a^2-4a^2(a+1)＝0\)，得\(a=-\frac{3}{4}\)  (代入檢驗符合)
(3)\(a^2x^2+ax+a+1=0\)無實數解
　判別式=\(a^2-4a^2(a+1)<0\)，得\(a> -\frac{3}{4}\)
故\(a\)值的範圍為\([-\frac{3}{4} ,\frac{1}{4}]\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-2 20:46 編輯 ]
作者: optimal0204    時間: 2025-4-2 20:52

各位老師好，想請問第4、10、12，謝謝!
作者: peter0210    時間: 2025-4-2 22:10

填充7 另解

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作者: peter0210    時間: 2025-4-2 22:31

填充10

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作者: thepiano    時間: 2025-4-2 22:47     標題: 回覆 12# optimal0204 的帖子

第 12 題
√[(x - 2)^2 + (y - 1)^2]/(|3x + 4y|/5) = 1/5
表示點 (x，y) 到 (2，1) 的距離/點 (x，y)到直線 3x + 4y = 0 的距離 = 1/5

離心率 e = c/a = 1/5
a = 5c，b^2 = 24c^2

橢圓焦點 (2，1) 到直線 3x + 4y = 0 之距離 = 2
a - c = 2 * 1/6 = 1/3
4c = 1/3
c = 1/12

正焦弦長 = 2b^2/a = 48c^2/(5c) = (48/5)c = 4/5
作者: peter0210    時間: 2025-4-2 23:02

填充4

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作者: joiuk123    時間: 2025-4-3 00:21     標題: 回覆 11# Jimmy92888 的帖子

謝謝老師的回答，文中的B集合老師是怎麼整理的呢？以下是我剛剛想到的作法（目的是為了湊出A集合內的樣子）

[ 本帖最後由 joiuk123 於 2025-4-3 00:39 編輯 ]

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作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-3 08:11

引用:
原帖由 joiuk123 於 2025-4-3 00:21 發表
謝謝老師的回答，文中的B集合老師是怎麼整理的呢？以下是我剛剛想到的作法（目的是為了湊出A集合內的樣子）
因為第(1)小題知，\(f(x)-x\)為\(f(f(x))-x\)的因式，所以直接用多項式除法，把\(f(f(x))-x\)除以\(f(x)-x\)。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 10:35 編輯 ]
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-3 08:49

引用:
原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。
計算第1題
第(1)題
分別以遞迴關係式化簡左右式
\(a_{n+2}-a_{n+1}=(\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2)-a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2-a_{n+1}+\frac{5}{8}\)
\(-b_{n}(a_{n+1}-a_{n})
=-\frac{1}{2}(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n})\)
　　\(=-\frac{1}{2}((a_{n+1})^2-(a_{n})^2)
=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2+\frac{1}{2}(a_{n})^2\)
　　\(=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2+(\frac{5}{8}-a_{n+1})
=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2-a_{n+1}+\frac{5}{8}\)

第(2)題
檢查\(n=1，0<a_{1}<\frac{5}{8}\)成立
設\(n=k\)成立，即\(0<a_{k}<\frac{5}{8}\)
化簡，得\(\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(\frac{5}{8})^2<\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{k})^2<\frac{5}{8}-0^2\)
即\(0<\frac{55}{128}<a_{k+1}<\frac{5}{8}\)
所以\(n=k+1\)成立
由數學歸納法得證

第(3)題
因為\(a_{n+1}-a_{n}
=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-a_{n}
=-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{5}{2})\)
又由(2)知，\(\frac{5}{2}<a_{n}+\frac{5}{2}<\frac{25}{8}\)
所以\(\frac{5}{4}|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|<\frac{25}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|\)
故\(|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|\)


第(4)題
因為\(a_{n+1}-\frac{1}{2}
=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-\frac{1}{2}
=-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{1}{2})\)
又由(2)知，\(\frac{1}{2}<a_{n}+\frac{1}{2}<\frac{9}{8}\)
所以\(|a_{n+1}-\frac{1}{2}|<\frac{9}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|\)
故\(|a_{n}-\frac{1}{2}|\)會收斂到\(0\)，即\(a_{n}\)收斂到\(\frac{1}{2}\)


若有疏漏、誤植，再請提醒指正。感謝

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 09:24 編輯 ]
作者: Superman    時間: 2025-4-3 13:36

請問第9題
如果把已知條件當中的
|x|=|y|=|z|
換成是x^2+y^2+z^2=9/4+sqrt(15)/2*i，
有辦法搭配另外兩個條件證明 |x|=|y|=|z| 嗎？
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-3 14:46

引用:
原帖由 Superman 於 2025-4-3 13:36 發表
請問第9題
如果把已知條件當中的
|x|=|y|=|z|
換成是x^2+y^2+z^2=9/4+sqrt(15)/2*i，
有辦法搭配另外兩個條件證明 |x|=|y|=|z| 嗎？
我覺得應該是可以的，只要x+y+z、xy+xz+yz、xyz三項的值相同，
就代表x、y、z為同一個三次多項式方程式的根。
只不過，是直接求出三根後觀察相等，或有其他方式就要再研究。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 15:23 編輯 ]
作者: joiuk123    時間: 2025-4-3 16:13     標題: 回覆 18# Jimmy92888 的帖子

原來是這樣，謝謝老師的回覆!
作者: peter0210    時間: 2025-4-3 16:21     標題: 回覆 6# Jimmy92888 的帖子

Jimmy92888 老師
填充9 的 r 應該是根號2
作者: joiuk123    時間: 2025-4-3 17:03     標題: 回覆 6# Jimmy92888 的帖子

老師，您的第一題應該是想打 AC=b,AB=c ，面積那邊ACD面積是 3b/10 。
作者: peter0210    時間: 2025-4-3 21:09

計算第二題(2)
a的左側範圍另解,右側比較明顯,就省略了

圖片附件: 計算第二題(2).png (2025-4-3 21:09, 20.41 KB) / 該附件被下載次數 28
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作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-3 22:15

引用:
原帖由 peter0210 於 2025-4-3 16:21 發表
Jimmy92888 老師
填充9 的 r 應該是根號2
引用:
原帖由 joiuk123 於 2025-4-3 17:03 發表
老師，您的第一題應該是想打 AC=b,AB=c ，面積那邊ACD面積是 3b/10 。
感謝提醒。
作者: Superconan    時間: 2025-4-4 02:39     標題: 回覆 3# Jimmy92888 的帖子

請問老師如何知道 (p,q) = (12,13) 或 (13,12) 時，2K有最大值？
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-4 07:00

引用:
原帖由 Superconan 於 2025-4-4 02:39 發表
請問老師如何知道 (p,q) = (12,13) 或 (13,12) 時，2K有最大值？
直觀的說，因為算幾不等式，等號成立時\(p=q=12.5\)不合，因此找最接近的整數點。
若要證明，可能會以\(p+q=m\)，先說明\(m\)與\(K\)的關係，再依\(m\)的奇偶性進行討論。
底下試著寫看看，若有疏漏或不嚴謹，再請指正。

令\(p+q=m\)，求\(\frac{pq}{p+q}=\frac{pq}{m}\)的範圍
(1)\(\frac{pq}{p+q}=\frac{pq}{m}=-\frac{1}{m}p^2+p=-\frac{1}{m}(p-\frac{m}{2})^2+\frac{m}{4}\leq \frac{m}{4}\)
(2)當\(m=2n\)，則\(p=n\)時，\(\frac{pq}{p+q}有最大值為\frac{n}{2}\)
　當\(m=2n+1\)，則\(p=n或n+1\)時，\(\frac{pq}{p+q}有最大值為\frac{n(n+1)}{2n+1}\)
　因此，當\(m=25\)時，\((p,q)=(12,13)或(13,12)\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-4 11:47 編輯 ]



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