Math Pro 數學補給站

標題: 114新竹高中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-3-30 17:53 標題: 114新竹高中

114新竹高中

附件: 新竹高中_114-1-1_教師甄試_數學科題目.pdf (2025-3-30 17:53, 223.01 KB) / 該附件被下載次數 2852
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7352&k=b4ca562d4b13308307ad1ecfbb2639b2&t=1769618412

附件: 新竹高中_114-1-1_教師甄試_數學科答案.pdf (2025-3-30 17:53, 91.47 KB) / 該附件被下載次數 2469
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7353&k=1f33a8d8a0507c85b422a70082bf0c7c&t=1769618412

作者: peter0210 時間: 2025-3-30 21:17

填充4

圖片附件: 4..png (2025-3-30 21:17, 12.93 KB) / 該附件被下載次數 1608
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7354&k=b50ded18d3bfbebd38259555df7da93c&t=1769618412

作者: cut6997 時間: 2025-3-31 01:53

想請教
填充12
想用正弦做但角度卡了一個差15度的合角
和
計算1的第2小題
對該圖形沒什麼概念，嘗試了扣掉1/3的法向量(積分1/3~1)和1/3斜率都不是。
----------------------------------
感謝兩位老師解惑，
計1.沒注意到考慮整條向量所以1/3法向量以下的三角形仍要計算
填12.要選的角竟然是右下方連出對角線的，而不是上方的75度

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-31 11:24 編輯 ]

作者: peipei611 時間: 2025-3-31 08:22 標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

計算1-(2)

[ 本帖最後由 peipei611 於 2025-3-31 09:16 編輯 ]

圖片附件: JPEG影像-4952-ADFD-36-0.jpeg (2025-3-31 08:22, 878.75 KB) / 該附件被下載次數 1874
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7355&k=5da888e274e2be262b9a574a41bbf124&t=1769618412

作者: peter0210 時間: 2025-3-31 08:57

填充12

圖片附件: 填充12.png (2025-3-31 08:57, 31.57 KB) / 該附件被下載次數 1806
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7356&k=647a3804ce691148dfd241d337ba226b&t=1769618412

作者: peipei611 時間: 2025-3-31 09:15 標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

填充12 另解

圖片附件: JPEG影像-4373-A8C9-15-0.jpeg (2025-3-31 09:15, 757.59 KB) / 該附件被下載次數 1883
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7357&k=d0864f94b349784a7b6c9c60a042e738&t=1769618412

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-31 10:28

2. 蠻經典的考題，考古題是符號
由底下兩式整理出\( 13(x-13)+17(y-17)+11(z-11)=0,43(x-13)+47(y-17)+41(z-11)=0\)

\( x-13:y-17:z-11=3 : (-1) : (-2) \Rightarrow x=13+3r,y=17-r,z=11-2r \)，代回第一式解出\(r=3\)

\((x,y,z)=(22,14,5)\)

3. 分項對消 \(\displaystyle \frac{1}{n^2(n+1)}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n+1)}\)

5.\(\displaystyle F'(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\)

13.今年出現好多次了 \(\displaystyle (\frac{10}{11}+1)\times 10 =\frac{210}{11}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-31 10:29 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2025-3-31 10:39

填充10

[ 本帖最後由 peter0210 於 2025-3-31 10:41 編輯 ]

圖片附件: 填充10'.png (2025-3-31 10:41, 26.25 KB) / 該附件被下載次數 1761
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7359&k=0bd64603f5e2554d73493e4b6c0c7253&t=1769618412

作者: bugmens 時間: 2025-3-31 13:03

3.
已知無窮級數\(\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)，求無窮級數\(\displaystyle \frac{1}{1^2\times 2}+\frac{1}{2^2\times 3}+\frac{1}{3^2\times 4}+\ldots+\frac{1}{n^2\times (n+1)}+\ldots\)的和為　　　。

4.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\displaystyle \pi cos\frac{k\pi}{6n}}{\displaystyle n(1+sin\frac{k\pi}{6n})}\)的值為　　　。

6.
設\(\Gamma\)：\(x^2+4y^2-6x+5=0\)，已知\(\Gamma\)的圖形經矩陣\(A=\left[\matrix{1&a \cr -a&1}\right]\)變換後與\(y\)軸相切，求\(a\)值為　　　。(有兩解)

\( A=\left[ \matrix{1 & a \cr -a &1} \right] \)，圖形\( 4x^2+y^2-6x+5=0 \)，經A變化後與x軸相切，求\( a= \)？
https://math.pro/db/thread-772-1-7.html

12.
正方形\(DEFG\)的三頂點\(D\)、\(F\)、\(G\)分別落在\(\triangle ABC\)的三邊\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)上，已知\(\angle A=60^{\circ}\)、\(\angle B=45^{\circ}\)、\(\overline{AB}=6\)、\(\overline{AD}=2\)，求正方形\(DEFG\)的面積為　　　。

作者: Superconan 時間: 2025-3-31 13:12

學校官方版題目沒有標題，有需要可以自行取用～

備註：我只動了第1頁，把第1頁整體往下挪，且把往下挪的空間利用減少題與題之間的空白來平衡，讓最上面有空間放標題。

附件: 新竹高中114_試題.pdf (2025-3-31 13:12, 341.5 KB) / 該附件被下載次數 2183
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7360&k=2c4c7477d07e74a7ff8c65575ab04c21&t=1769618412

作者: thepiano 時間: 2025-3-31 14:34 標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

第 12 題另解
AC/sin45∘= AB/sin75∘
AC = 6√3 - 6

作 DM 垂直 AC 於 M，作 FN 垂直 AC 於 N
易知 △DMG 和 △GNF 全等

設 MG = NF = x
CN = tan15∘* NF = (2 - √3)x
AM = 1，DM = GN = √3

MG + CN = AC - AM - GN
x + (2 - √3)x = 6√3 - 6 - 1 - √3
(3 - √3)x = 5√3 - 7
x = (5√3 - 7)/(3 - √3)

ABCD = DG^2 = x^2 + 3 = [(5√3 - 7)/(3 - √3)]^2 + 3 = (28 - 8√3)/3

作者: x14162003 時間: 2025-4-1 00:34

請教填充7,11

作者: cut6997 時間: 2025-4-1 01:46

7.關鍵在於三側面夾角相同=>頂點投影為內心。其他應該都不是問題
方程可得b+c=8，bc=28/3
a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b+c)^2-3bc=36
=>a=6
rs=bcsinA
=>r=3^(-0.5)
=>h=1/3
=>V=1/3 *h *1/2 *bcsinA

作者: thepiano 時間: 2025-4-1 07:09 標題: 回覆 12# x14162003 的帖子

第 11 題
作 AF 垂直 DE 於 F

△PAF 中，PA = 4、PF = √3、AF = √7
cos∠PAF = (5/14)√7，sin∠PAF = (1/14)√21
P 到直線 AF 的距離 = (1/14)√21 * 4 = (2/7)√21

△PAE 中，PA = 4、PE = 2、AE = 2√2
cos∠PAE = (5/8)√2，sin∠PAE = (1/8)√14
P 到直線 AE 的距離 = (1/8)√14 * 4 = (1/2)√14

所求 sinθ = P 到直線 AF 的距離 / P 到直線 AE 的距離 = (2/7)√21 / (1/2)√14 = (2/7)√6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-1 07:17 編輯 ]

作者: lisa2lisa02 時間: 2025-4-1 10:50

請教老師們第9題，謝謝!

作者: thepiano 時間: 2025-4-1 12:13 標題: 回覆 15# lisa2lisa02 的帖子

第 9 題
疊合後 = 1 + 3√2sin(x + (5/12)π) - √2sin(3x + (1/4)π)
微分後 = 3√2cos(x + (5/12)π) - 3√2cos(3x + (1/4)π) = 0
可求出 x = (1/3 + 2k)π 或 (-1/6 + 2k)π 時，有最大值 5

作者: lisa2lisa02 時間: 2025-4-1 13:38 標題: 回覆 16# thepiano 的帖子

了解，謝謝鋼琴老師~

作者: satsuki931000 時間: 2025-4-5 00:12

計算2
以下為硬爆做法，還請各位老師指教
由\(\displaystyle P(X=k)>P(x=k+1),P(X=k)>P(X=k-1)\)

列出式子如下
\(\displaystyle (r-k)(m-k)<(k+1)(n-r+k+1) \Rightarrow \displaystyle k>\frac{rm+r-n-1}{m+n+2}\)

\(\displaystyle k(n-r+k)<(m-k+1)(r-k+1) \Rightarrow \displaystyle k<\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\)

可得\(\displaystyle \frac{rm+r-n-1}{m+n+2}<k<\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\)

且\(\displaystyle \frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}-\frac{rm+r-n-1}{m+n+2}=1\)

因此若\(\displaystyle \frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\notin \mathbb{N}\)

\(\displaystyle k=[\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}]\)

作者: satsuki931000 時間: 2025-4-5 00:25

計算3

證明對於任意的\(a_n , n\in \mathbb{N}\)皆有界，令\(a_n \leq2\)

設\(n=k\)時，\(a_k\leq2\)成立

則\(\displaystyle a_{k+1}\leq \frac{-3+\sqrt{25+4a_n}}{2}\leq\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\leq 2\)

由數學歸納法，原命題成立

證明數列為遞增，即\(a_{n+1}>a_{n}\)

設\(n=1,.2,3.\cdots k\)時，\(a_{n+1}>a_{n}\)皆成立

則\(\displaystyle a_{k+2}-a_{k+1}= \sqrt{25+4a_{k+1}}-\sqrt{25+4a_k}=\displaystyle \frac{4(a_{k+1}-a_k)}{\sqrt{25+4a_{k+1}}+\sqrt{25+4a_k}}>0\)

由數學歸納法，原命題成立

因為該數列遞增且有界，故收斂

設收斂值為\(a\)

有\(a^2+3a-4= a \Rightarrow a = \displaystyle -1+\sqrt{5}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-4-5 10:46 編輯 ]

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0