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標題: 114師大附中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-3-29 12:35 標題: 114師大附中

114師大附中

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作者: vln0106 時間: 2025-3-29 14:41

想問J K M 感謝老師們

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-29 15:41 標題: 回覆 2# vln0106 的帖子

K
設\(\displaystyle \int_{1}^{2}f(t) dt=A\)
對原式微分可得 \(\displaystyle f(x)+xf'(x)=12x^2+4Ax+f(x)\)
即\(\displaystyle xf'(x)=12x^2+4Ax \Rightarrow f'(x)=12x+4A\)
故\(\displaystyle f(x)=6x^2+4Ax+c\)

由\(\displaystyle f(1)=4+2A=6+4A+c \Rightarrow 2A+c=-2\)
由 \(\displaystyle \int_{1}^{2}f(t) dt=A\)，得到\(5A+c=-14\)

解聯立得到\(A=-4,c=6\)，\(f(x)=6x^2-16x+6 \Rightarrow f(-1)=28\)

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-29 15:57 標題: 回覆 2# vln0106 的帖子

J
移項取絕對值
可以知道\(\displaystyle |\omega-3|=3\)，設\(\omega=(3+3cos\ t)+3isin\ t\)
且\(\displaystyle |\omega|=2\)

所以\(\displaystyle 9cos^2 \ t +18cos\ t +9sin^2 \ t=18+18cos\ t =4\)
解得\(\displaystyle cos\ t =\frac{-7}{9}\)

故\(\omega=\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{32}i}{3}\)

所求為37

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-29 16:31 標題: 回覆 2# vln0106 的帖子

M 不確定是不是這樣想，還請指教
n越少越好，表示個別的值盡可能的大
由\(\displaystyle 1-\frac{1}{b_k},k=1\cdots n\)，所形成的數列

最大的為\(\displaystyle \frac{1}{2},\frac{2}{3},\cdots \frac{n-1}{n}\)

因此\(\displaystyle \frac{114}{2025}\leq \frac{1}{n}\)

\(\displaystyle n\leq 17.\cdots\)
取\(n=17\)
但我找不到一個實例能說明\(n=17\)時成立，還請大神協助

作者: bugmens 時間: 2025-3-29 17:45

C.
坐標空間中，有一個實心體\(\Omega\)，其底部為在\(xy\)平面上的橢圓區域\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1\)，若用垂直\(x\)軸於點\((x,0,0)\)的平面\(E_x\)對\(\Omega\)所作的截面都是正方形，則\(\Omega\)的體積為　　　。

N.
設\(x,y,z\in R\)，已知\(x+y+z=0\)，\(x^2+y^2+z^2=6\)，若\(x^3+y^3+z^3\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(M\times m\)的值為　　　。

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作者: tsusy 時間: 2025-3-29 18:09 標題: 回覆 5# satsuki931000 的帖子

選填 M. 你的不等式好像不小心寫反了

但方法是對，用同樣的方式，可以確定大部分的 \( b_n \)

由 \( n \geq 17 \)，知只要找出一組 \( n=17 \) 的狀況，即可說明最小值為 17

設 \( n = 17 \)

若 \( 2 \sim 18 \) 中，有一個數 \( m \) 沒有出現在 \( b_k \) 裡，則

\( \displaystyle \prod_{k=1}^{17}(1-\frac{1}{b_{k}})\geq\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\cdots\frac{18}{19}\right)/(1-\frac{1}{m}) \)

\( \Leftrightarrow \frac{114}{2025}\ge\left(\frac{1}{2}\cdot\cdots\cdot\frac{18}{19}\right)/(\frac{m-1}{m}) \)

\( \Leftrightarrow m-1\ge\frac{2025}{141}\approx14.4 \Leftrightarrow m \geq 16 \)

故當 \( 2,3,...,15 \) 有一個數沒出現在 \( b_k \) 中時，等號必不等成，

不妨假設 \( b_1 =2, b_2=3, \ldots b_{14} = 15\)，而得 \( \frac{38}{45}=(\frac{b_{15}-1}{b_{15}})(\frac{b_{16}-1}{b_{16}})(\frac{b_{17}-1}{b_{17}}) \)

同樣的方式，可得 \( 16, 17 \) 至少要有一個出現在 \( b_{15}, b_{16}, b_{17} \) 之中，嘗試一下，可得

\( \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\cdot\frac{14}{15}\right) \times \frac{16}{17}\cdot\frac{17}{18}\cdot\frac{19}{20} = \frac{1}{15} \times \frac{38}{45} = \frac{114}{2025}\)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2025-3-29 18:11 編輯 ]

作者: cut6997 時間: 2025-3-29 19:21

想詢問非選Q除了使用內積得到v^2外還有什麼方法

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-29 19:22 編輯 ]

作者: joiuk123 時間: 2025-3-29 19:43 標題: 回覆 8# cut6997 的帖子

我的另一個方法是把三個向量取長度平方，之後再去化簡就可以得到各別向量的長度，但感覺精神上還是用了內積!

作者: acolytej 時間: 2025-3-29 20:16 標題: 回覆 8# cut6997 的帖子

知道三對角線向量。令一點為原點。求出相鄰三點坐標。

作者: cut6997 時間: 2025-3-29 20:24 標題: 回覆 9# joiuk123 10# acolytej 的帖子

兩位老師分享的看起來都是靠畢氏定理繞過了向量內積，感謝分享。

作者: peter0210 時間: 2025-3-29 21:50

填充O

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作者: Yoga-Lin 時間: 2025-3-29 22:06 標題: 回覆 7# tsusy 的帖子

老師的算式應該把141改成114，估計的值應該就對了

作者: peter0210 時間: 2025-3-29 22:12

填充P

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作者: thepiano 時間: 2025-3-29 23:00 標題: 回覆 5# satsuki931000 的帖子

第 M 題
所有連乘之分數均為分子比分母小 1 的正真分數
n 個這樣的分數相乘之最小值 = (1/2)(2/3)(3/4)……[n/(n + 1)] = 1/(n + 1)
1/(n + 1) <= 114/2025
n >= 17

由於 114/2025 = 38/675 = (2 * 19)/(3^3 * 5^2)
考慮 (1/2)(2/3)(3/4)……(17/18)(18/19)(19/20) 這 19 個分數連乘
由於分子需有 19，先拿掉 18/19，此時分母多了 18 = 2 * 3^2 和 20 = 2^2 * 5，要再多 3 * 5，才是 3^3 * 5^2
再拿掉 15/16，此時分母多了 15 = 3 * 5，分子多了 16 = 2^4 跟分母多的 2 * 2^2 約分後剛好是 2

故 n 的最小值是 17

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-29 23:10 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2025-3-30 10:49 標題: 回覆 8# cut6997 的帖子

非選 Q
以下 u、v、w 都是向量
u - v = (2，-1，0)、v - w = (-1，2，3)、u - w = (1，1，3)
|u - v| = √5，|v - w| = √14，|u - w| = √11
令 |u| = a，|v| = b，|w| = c
利用 a^2 + b^2 = 5，b^2 + c^2 = 14，c^2 + a^2 = 11
可求出 a^2 = 1，b^2 = 4，c^2 = 10
所求 = abc = √(a^2b^2c^2) = 2√10

以下是比較麻煩的做法
令 u = (x，y，z)、v = (x - 2，y + 1，z)、w = (x - 1，y - 1，z - 3)

利用內積 = 0
可求出 (x，y，z) = ((4 + √10)/9，(-1 + 2√10)/9，(2 - √10)/9)
或 (x，y，z) = ((4 - √10)/9，(-1 - 2√10)/9，(2 + √10)/9)

所求為 u、v、w 三向量所張出的六面體體積 = u、v - w、u - w 三向量所張出的六面體體積 = 2√10

作者: tsusy 時間: 2025-3-31 22:00 標題: 回覆 13# Yoga-Lin 的帖子

謝謝，是我手誤，不小心打錯，的確是114才對

作者: yugigi01 時間: 2025-4-1 13:30 標題: 回覆 14# peter0210 的帖子

不好意思，我想請問peter老師紅色那行是怎麼變出來的呢？

作者: superlori 時間: 2025-4-1 13:41 標題: 回覆 18# yugigi01 的帖子

考慮f(x)=(1+x)^n的展開式，將x=1,w,w^2代入化簡

作者: LookBack 時間: 2025-4-5 23:07

想請教E、L、N，謝謝

作者: Jimmy92888 時間: 2025-4-6 06:29

引用:

原帖由 LookBack 於 2025-4-5 23:07 發表
想請教E、L、N，謝謝

第E題
由原式化簡，得\( \frac{ab}{\cos A \cos B} =\frac{ac}{\cos A \cos C} +\frac{bc}{\cos B \cos C} \)
即\(ab\cos C=ac\cos B+bc \cos A=c(a\cos B+b \cos A)=c^2 \)
又由餘弦定理，知\( \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)，因此\(a^2+b^2=3c^2\)
故\(\cos C=\frac{\frac{2}{3}(a^2+b^2)}{2ab} \geq \frac{\frac{2}{3}(2ab)}{2ab}\geq \frac{2}{3}\)

第L題
有一個想法，因為根號的限制，得\(0<t<1\)，
令\(t=\cos \theta\)，其中\(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)
對原式雙邊平方，進行化簡得\(\theta\)值，再估計\(t^2\)
但計算有點複雜，再想想有沒有其他方式。

第N題
因為\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=0\)，所以\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
又\(xy+xz+yz=\frac{1}{2}((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))=-3\)
令\(xyz=p\)，則\(x,y,z\)為\(t^3-3t=p\)三實數解
由微分知，\(f(t)=t^3-3t的範圍為[-2,2]\)
故\(x^3+y^3+z^3\)的最大值為\(6\)，最小值為\(-6\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-6 11:54 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2025-4-6 09:04 標題: 回覆 20# LookBack 的帖子

第 L 題
√(1 - x) = 2x^2 - 1 + 2x√(1 - x^2)

令 t = cosθ，0＜θ＜π/2
√(1 - cosθ) = 2(cosθ)^2 - 1 + 2cosθ√[1 - (cosθ)^2]
√[2(sin(θ/2))^2] = cos2θ + 2cosθsinθ
√2 * sin(θ/2) = cos2θ + sin2θ
sin(θ/2) = sin(2θ + π/4)
θ/2 = π - (2θ + π/4)
θ = (3/10)π

t^2 = [cos(3π/10)]^2 = [sin(π/5)]^2 = (5 - √5)/8 ≒ 0.35

作者: peter0210 時間: 2025-4-6 09:28

填充L

圖片附件: 填充L.png (2025-4-6 09:28, 19.29 KB) / 該附件被下載次數 3
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