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標題: 114台南女中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-3-16 14:53 標題: 114台南女中

請問老師第4，5，10

附件: 114學年度第1次教師甄選試題及參考答案(數學科).pdf (2025-3-16 14:53, 165.81 KB) / 該附件被下載次數 2669
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作者: cut6997 時間: 2025-3-16 15:24

5.因恆正得b^2-4ac<=0,且a,b,c>=0
若a為0則b為0=>所求無意義
若a不為0
將所求上下同除a得(1+2b/a+4c/a)/(b/a-1)
令s=b/a,t=c/a
得(1+2s+4t)/(s-1)
又b^2-4ac<=0 => s^2<=4t
所求>=(1+2s+s^2)/(s-1)
對s求導令分子為0得(2s+2)(s-1)-(1+2s+s^2)=s^2-2s-3
=>s=3,-1(因a,b,c>0不合)
(1+6+9)/2=8

10.令log_16 x=t
則(2t)^4 * (t^2) * 4t=1=>t^7=2^(-6)
所求為t^4 * 2t * (4t)^2=2^5 * t^7=2^-(1)
log_16 (2^-1)=-1/4

請教計算第4
我不太清楚題目想問什麼...
因為平面線性變換必由伸縮,旋轉,鏡射合成
又det(A)=1故無伸縮變換，且(1,0)位於單位圓上
故無論如何旋轉鏡射皆在單位圓上
完全沒用到題目給的OP_1=OP_2=1...
-------
忘記是旋轉可以用鏡射合成，不是推移能合出來，那沒問題了，感謝余老師

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-16 16:32 編輯 ]

作者: 余師傅 時間: 2025-3-16 16:15 標題: 回覆 2# cut6997 的帖子

計算4
你少考慮推移矩陣

作者: thepiano 時間: 2025-3-16 16:44 標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

第 4 題
以下均為向量
AD = AB + BC + CD
|AD|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + 2(AB˙BC + BC˙CD + CD˙AB)
5^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(AB˙BC + BC˙CD + CD˙AB)
AB˙BC + BC˙CD + CD˙AB = -2

AC˙BD = (AB + BC)(BC + CD) = AB˙BC + AB˙CD + |BC|^2 + BC˙CD = -2 + 9 = 7

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-16 16:45 編輯 ]

作者: 余師傅 時間: 2025-3-16 16:52

想請問老師們填充 2,11 及計算 2,4

作者: thepiano 時間: 2025-3-16 17:18 標題: 回覆 5# 余師傅的帖子

第 2 題
g(x) = f(x) - x^3 = ax^2 + bx + c
g(a) = g(b) = 0
a、b 是 g(x) = 0 之二根
a + b = -b/a，ab = c/a
c = a^2b = a^2 * [-a^2/(a + 1)] = -a^4/(a + 1) = (-a^3 + a^2 - a + 1) - [1/(a + 1)] 為整數
a = -2，c = 16，b = 4
a + b + c = 18

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-16 17:18 標題: 回覆 5# 余師傅的帖子

填充2
代入兩個條件後相減
可以得到\(a^3-ab^2+ab-b^2=0\)
因式分解得到\((a-b)(a^2+ab+b^2)=0\)
因為\(a\neq b \Rightarrow a^2+ab+b=0\)

改寫得\(\displaystyle b=-\frac{a^2}{a+1}\in \mathbb{Z} \Rightarrow a=-2,b=4\)
最後利用\(f(-2)=-8,f(4)=64\)擇一求出\(c=16\)
所求\(a+b+c=18\)

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-16 18:01 標題: 回覆 5# 余師傅的帖子

計算2
(1)設 \(\displaystyle [\sqrt{n}]=k \Rightarrow k^2\leq n<(k+1)^2\)
因此 \(\displaystyle k\leq f(n)<k+2+\frac{1}{k}\)
由題目敘述知道 \(\displaystyle 5\leq  \frac{n}{[\sqrt{n}} ]<6\)
若 \(\displaystyle k= [\sqrt{n}]=3, 3\leq \frac{n}{[\sqrt{n}]}<5\frac{1}{3}\)，配合\(\displaystyle 5\leq  \frac{n}{[\sqrt{n}}] <6\)
得到\(\displaystyle 5\leq \frac{n}{5}<5\frac{1}{3}\)，\(n=15\)是最小值
同理取\(\displaystyle k= [\sqrt{n}]=5, 5\leq \frac{n}{[\sqrt{n}]}<7\frac{1}{5}\)，配合\(\displaystyle 5\leq  \frac{n}{[\sqrt{n}}] <6\)
得到\(\displaystyle 5\leq \frac{n}{5}<6\)，\(n=29\)是最大值

(2)若 \(n\)不為完全平方數，且\(n+1\)也不是完全平方數
則\(\displaystyle [\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]\)

因此\(\displaystyle f(n)=[\frac{n}{[\sqrt{n}]}]<f(n+1)=[\frac{n+1}{[\sqrt{n+1}]}]\)

若\(n\)不為完全平方數，但\(n+1\)是完全平方數
設\(\displaystyle n=p^2-1,n+1=p^2\)
則\(\displaystyle f(n)=[\frac{p^2-1}{[\sqrt{p^2-1}]}]=[\frac{p^2-1}{p-1}]=p+1\)
\(\displaystyle f(n+1)=[\frac{p^2}{[\sqrt{p^2}]}]=p\)
滿足\(f(n)>f(n+1)\)
因此\(n\)為完全平方數的前一個數
共44個

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-16 18:05 編輯 ]

作者: cut6997 時間: 2025-3-16 18:05

11.土法煉鋼(應該不是這樣算...)
原題等同16個位置放8個奇數
1.兩行(列)4奇:
選行C(4,2)
行列互換2
6*2

2.一行(列)4奇:
選4個那行C(4,1)
選2行C(3,2)
其中一行選2個位置C(4,2)
剩餘自動決定
行列互換2
4*3*6*2=6*24

3.每列各2
第一列選2個C(4,2)
決定下一列是否並列
若是則自動決定，
OO
OO
若否，則分為完全不同行
OO
XXOO
第三列任選2，第四列自動決定C(4,2)
與1個不同行
OO
OXO
同列位置C(2,1)
不同列位置C(2,1)
第三列可選補齊第一列或第二列C(2,1)
其餘自動決定
6(1+6+2*2*2)=6*15

總和=6*41
C(16,8)/6=2145

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-16 18:09 編輯 ]

作者: Bufi 時間: 2025-3-17 16:30 標題: 回覆 7# satsuki931000 的帖子

請問因式分解是怎麼來的,謝謝

作者: joiuk123 時間: 2025-3-17 18:50 標題: 回覆 10# Bufi 的帖子

前兩個一組，後兩個一組

作者: lovejade 時間: 2025-3-17 19:58

想請問填充6、9，謝謝

作者: Ellipse 時間: 2025-3-17 20:35

引用:

原帖由 lovejade 於 2025-3-17 19:58 發表
想請問填充6、9，謝謝

填9
(47/4 +1)*2=51/2

作者: thepiano 時間: 2025-3-17 23:07 標題: 回覆 12# lovejade 的帖子

填充第 6 題
若外接圓半徑 R
PA^2 + PB^2 + PC^2 是定值 6R^2

作者: lovejade 時間: 2025-3-18 10:21 標題: 回覆 13# Ellipse 的帖子

老師，不好意思，想請問前面的47/4是怎麼來的呢?

作者: lovejade 時間: 2025-3-18 10:21 標題: 回覆 14# thepiano 的帖子

謝謝老師，我懂了!

作者: lisa2lisa02 時間: 2025-3-18 10:40

想請教老師們填充第12題

作者: peter0210 時間: 2025-3-18 11:21 標題: 填充9

填充9

圖片附件: 填充9.png (2025-3-18 11:21, 27.98 KB) / 該附件被下載次數 963
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7337&k=237fabd660b52c7648edd6e3a25075ff&t=1769618411

作者: lovejade 時間: 2025-3-18 12:26 標題: 回覆 18# peter0210 的帖子

謝謝老師解答，我看懂了!

作者: thepiano 時間: 2025-3-18 13:39 標題: 回覆 17# lisa2lisa02 的帖子

填充第 12 題
f(x) = √3sin(kx) + cos(kx) = 2sin(kx + π/6)

(-1/4)π ≦ x ≦ (1/3)π
(-k/4)π ≦ kx ≦ (k/3)π
[(-3k + 2)/12]π ≦ kx + π/6 ≦ [(2k + 1)/6]π

當 [(-3k + 2)/12]π = (-1/2)π 時，是圖形最低點
當 [(2k + 1)/6]π = (1/2)π 時，是圖形最高點
分別往左、右延伸
故 (-3/2)π ＜ [(-3k + 2)/12]π ≦ -(1/2)π 且 (1/2)π ≦ [(2k + 1)/6]π ＜ (3/2)π 時
其圖形恰有一個最高點和一個最低點

8/3 ≦ k ＜20/3 且 1 ≦ k ＜4
8/3 ≦ k ＜ 4

作者: peter0210 時間: 2025-3-18 15:29

填充12

圖片附件: 填充12.png (2025-3-18 15:29, 22.62 KB) / 該附件被下載次數 1746
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圖片附件: sin-GGB6.gif (2025-3-18 15:29, 1.34 MB) / 該附件被下載次數 1708
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7339&k=a2e61d99e1edbc7e0cca992669b6d12d&t=1769618411

作者: bugmens 時間: 2025-3-18 20:24

1.
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{3}{n^2}\left[\sqrt{4n^2-(3\times 1)^2}+\sqrt{4n^2-(3\times 2)^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-(3\times n)^2}\right]=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)　　　。
(104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=1#pid13706)

3.
設三次函數\(\displaystyle f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2024}f\left(\frac{k}{2025}\right)\)的值。

作者: jackyxul4 時間: 2025-3-18 22:20 標題: 填充第 12 題

有人跟我一樣覺得填充12有疑義嗎??

最高點、最低點指的是區間內的圖形最高最低各一個(y不一定是+-2)，還是原始圖形的最高(y=2) 最低(y=-2)各一個

顯然官方給的答案是最高(y=2) 最低(y=-2)各一個的答案

作者: jackyxul4 時間: 2025-3-18 22:45 標題: 回覆 23# jackyxul4 的帖子

我的想法是""f(x)在[-pi/4,pi/3]區間的圖形""像這樣，畫出來會有最高跟最低各一個點發生在端點
所以如果對文義的理解是這樣的話，答案應該是0<k<4

圖片附件: 填充12.png (2025-3-18 22:45, 147.41 KB) / 該附件被下載次數 1550
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7340&k=8bf80b16775e6336a08217cc1231aec5&t=1769618411

作者: 余師傅 時間: 2025-3-20 19:26

想請教老師們計算4

作者: ruee29 時間: 2025-3-23 07:42

整理了填充題解答。
補上計算題解答，供參考~

附件: 114南女填充題.pdf (2025-3-23 07:42, 1.47 MB) / 該附件被下載次數 2168
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7342&k=a01871987fc168772c4e7c50e1d5f005&t=1769618411

附件: 114台南女中計算題.pdf (2025-3-23 18:50, 1.63 MB) / 該附件被下載次數 2072
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7343&k=8b9945e9fcd2daf18ee1200796cba7b9&t=1769618411

作者: thepiano 時間: 2025-3-23 10:56 標題: 回覆 25# 余師傅的帖子

計算第 4 題
易知 P_1(a，c)，P_2(a^2 + bc，ac + cd)

(1) c = 0
OP_1 = 1，a^2 + c^2 = 1，a = ±1
(i) a = 1，P_n = (1，0)，OP_n = 1
(ii) a = -1，P_n = (±1，0)，OP_n = 1

(2) c ≠ 0
det(A) = 1，ad - bc = 1
OP_1 = 1，a^2 + c^2 = 1
OP_2 = 1，(a^2 + bc)^2 + (ac + cd)^2 = 1

a^4 + 2a^2bc + b^2c^2 + a^2c^2 + 2ac^2d + c^2d^2 = 1
a^4 + 2a^2(ad - 1) + (ad - 1)^2 + a^2(1 - a^2) + 2ad(1 - a^2) + (1 - a^2)d^2 = 1
d^2 = a^2

(i) d = a，a^2 - bc = 1 = a^2 + c^2，b = -c，矩陣 A 是旋轉矩陣，OP_n = 1
(ii) d = -a，P_1(a，c)，P_2(-1，0)，P_3(-a，-c)，P_4(1，0)，P_5(a，c)，P_6(-1，0)，...，OP_n = 1

作者: 余師傅 時間: 2025-3-27 20:22

感謝兩位老師

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