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標題: 114台南一中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-3-8 15:13 標題: 114台南一中

114台南一中

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作者: vln0106 時間: 2025-3-8 19:19 標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

請教一下填充11 計算3 謝謝老師們

作者: BambooLotus 時間: 2025-3-8 23:09

想確認一下填充9，我有算出答案是2^(5/6)×3^(7/6)，不確定有沒有錯

有計算錯誤，更正一下，a是3sqrt6，但還是與原答案不符

令A,B中點是M，C,D中點是N，MN垂直OM
OM平行(1,1,1)，ON平行(1,1,0)，
MN是正四面體的歪斜是sqrt2/2的稜長，OMN是直角三角形
這樣求出OM是1倍的稜長，那OA應該是3/2的稜長才對

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-9 00:13 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

填充11
\(z\)在直角坐標平面的軌跡為圓形
\(\displaystyle x^2+y^2-(\frac{2k^2}{k^2-1})x+(\frac{2}{k^2-1})y+1=0\)

圓心在\(\displaystyle (\frac{k^2}{k^2-1},\frac{-1}{k^2-1})\)，\(r=\displaystyle \frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\)

\(\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}w\)在坐標平面軌跡 \(x+y+6=0\)

所求為圓上一點到直線的最短距離
得到\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\)
其中\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\) 在\(k=2\) 時有最大值為\(\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
因此所求的最小值為\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{17\sqrt{2}}{6}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 00:15 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-9 00:37

確認一下計算二的答案
1.2
2.\(2x\)
3.2

作者: thepiano 時間: 2025-3-9 07:10 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

計算第 3 題
PC/sin(30∘+ θ) = 3/sin60∘
PC = 3sinθ + √3cosθ

RC/sin(120∘- θ) = 4/sin60∘
RC = (4/3)√3sinθ + 4cosθ

PR = [3 + (4/3)√3]sinθ + (4 + √3)cosθ
疊合後，可得 PR 最大值 = √[(100 + 48√3)/3]

△PQR 面積最大值 = 12 + (25/3)√3

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作者: thepiano 時間: 2025-3-9 08:03 標題: 回覆 6# satsuki931000 的帖子

計算二
(2) 1
(3) 94x + 349

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-9 09:38 標題: 回覆 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的指正
但是答案仍是不同
不知道是否哪邊有問題

(2)令\(\displaystyle G(x)=(x^2+x+1)f(x)\)
設\(f(x)=(x^2-x+1)Q_1(x)+(ax+b)\)
同乘\(x^2+x+1\) 得到 \(G(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q_1(x)+(ax+b)(x^2+x+1)\)
因為\(G(x)\) 除以\(x^2+x+1\)的餘式為\(0\)
且\(G(x)\) 除以\((x^2-x+1)\)的餘式為\(2x\)
得到\(G(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q_1(x)+(x^2+x+1)\)
因此\(a=0,b=1\)，所求餘式為\(1\)

(3)令\(\displaystyle G(x)=(x^2+x+1)f(x)\)
設\(f(x)=(x^2+x+1)Q_2(x)+(px+q)\)
同乘\(x^2+x+1\) 得到 \(G(x)=(x^2+x+1)^2Q_2(x)+(px+q)(x^2+x+1)\)

因為\(G(x)\) 除以\((x^3-1)^2\)的餘式為\(200x^5+53x^4-198x^2-51x+2\)
所以\(G(x)\) 除以\((x^2+x+1)^2\)的餘式為\(94x^3+443x^2+443x+349\)
即\((px+q)(x^2+x+1)=94x^3+443x^2+443x+349 \Rightarrow px+q=94x+349\)

後記: 已找出問題，感謝鋼琴老師的指正

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 23:06 編輯 ]

作者: vln0106 時間: 2025-3-9 09:57 標題: 回覆 7# thepiano 的帖子

感謝兩位老師

作者: thepiano 時間: 2025-3-9 11:00 標題: 回覆 9# satsuki931000 的帖子

(2) 倒數第二行應是
G(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)Q_1(x) + (x^2 + x + 1)
故 a = 0，b = 1，所求餘式為 1

(3) 倒數第二、三行
(x^2 + x + 1)^2 不是 x^6 - 1 的因式，不能那樣做

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-9 11:51 標題: 回覆 11# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師
(2)計算錯誤
(3)頭昏了，想得太快

作者: cut6997 時間: 2025-3-9 13:02 標題: 回覆 9# satsuki931000 的帖子

想請問如何求得除以(x^3-1)^2的餘式?

我只會愚蠢的
令f(x)=(x^2+x+1)q(x)+r(x)
因(x^2+x+1)f(x)除以(x^2+x+1)必定整除，故求商得
f(x)=2( (sum_k=0^99 (x^3-x^2)x^3k) +1)+(sum_k=0^32 (x^2-x)x^3k)+(sum_k=0^19 (x^2-x)x^3k)
同乘(x-1)得(x-1)f(x)=(x^3-1)q(x)+(x-1)r(x)
以x^3=1帶入(x-1)f(x)降階得(x-1)(2( 100-100x^2+1)+33(x^2-x)+20(x^2-x))=(x-1)r(x)
=>r(x)=-147x^2-53x+202
再r(x)除以(x^2+x+1)得94x+349

作者: satsuki931000 時間: 2025-3-9 14:33 標題: 回覆 13# cut6997 的帖子

以下方法為突發奇想
是不是都能這樣做不知道XD

令\(y=x^3\)
定義\(H(y)=2x^2y^{100}+xy^{33}+xy^{20}+2\)
找\(H(y)\)除以\((y-1)^2\)的餘式
利用泰勒展開式：\((200x^2+53x)(y-1)+2(x^2+x+1)\)
還原回去展開就可以得到\(200x^5+53x^4-198x^2-51x+2\)

作者: cut6997 時間: 2025-3-9 15:17 標題: 回覆 14# satsuki931000 的帖子

感謝分享，看起來挺神奇的
我個人感覺要做微分的話，似乎x不能當作常數看待
可是算出來的答案卻是對的，可能得請其他老師解說緣由

作者: peter0210 時間: 2025-3-9 21:30

填充6

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作者: Superconan 時間: 2025-3-10 01:47

計算第 1 題
請問答案是 4 嗎？

作者: Jimmy92888 時間: 2025-3-10 06:19 標題: 回覆 16# Superconan 的帖子

化簡\(|\log(\displaystyle\frac{|\sin(2\theta)|}{2})-2\log(|\cos\theta|)|=5-\tan\theta\)
得\(|\log(|\tan\theta|)|=5-\tan\theta\)
令\(x=\tan\theta\)
原式：\(|\log|x||=5-x\)
又\(y＝5-x\)與\(y＝|\log|x||\)有三個交點\(A(a,5-a)\)、\(B(b,5-b)\)、\(C(c,5-c)\)
\(\tan\theta＝a\)、\(\tan\theta＝b\)、\(\tan\theta＝c\)在\(0\)到\(2\pi\)各有2個解
因此共有6個解。

若有錯誤，再請指正。

作者: bugmens 時間: 2025-3-10 08:41

一、填充題
1.
同時擲兩個大小不同的骰子一次，我們將出現點數和為4的事件稱為事件\(A\)。今重複投擲上述兩個骰子500次，假設事件\(A\)恰發生\(n\)次的機率為\(p_n\)，則滿足\(p_n<p_{n+1}\)的正整數\(n\)之最大值為　　　。

2.
\(\triangle ABC中\)，已知\(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=-5\)，\(\vec{BC}\cdot\vec{CA}=-6\)，\(\vec{CA}\cdot\vec{AB}=-7\)，求\(\triangle ABC\)面積為　　　。
(我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

3.
袋中有10球，分別編1~10號，每球被取出的機會均等。遊戲規則如下：每次取一球，取後不放回，當「第\(k+1\)次取出的號碼小於第\(k\)次取出的號碼」或「10球全取完」時才停止。若此時取出的總球數為\(m\)，則可得獎金(\(10\times m!\))元。求此遊戲玩一次得獎金的期望值　　　元。

4.
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)為正整數且\(a,b,c<10\)，若\(ax^2-bx+3c=0\)之兩根為\(\alpha\)、\(\beta\)，且\(1<\alpha<2\)，\(5<\beta<6\)，求序組\((a,b,c)=\)　　　。

5.
\(x\)、\(y\)為任意實數，令\(\displaystyle t=\frac{x^2+y^2+1}{x+2y+2}\)，求\(t\)的範圍為　　　。

6.
數列\(\langle a_n\rangle\)滿足：
(1)\(a_1=500\)
(2)對任意正整數\(n\)，恆有\((n+1)(n+2)a_{n+1}a_n-n(n+2)a_{n+1}-(n+1)^2a_n-(n+1)(n+4)=0\)求\(a_{998}=\)　　　。

7.
平面上有一個三角形\(ABC\)，同一平面上有一點\(P\)滿足\(\vec{PA}+2\vec{PB}+3\vec{PC}=k\vec{AB}\)。若點\(P\)在\(\triangle ABC\)的內部，求實數\(k\)的範圍為　　　。

8.
已知\(A=\begin{bmatrix}2&0\\a&1\end{bmatrix}\)，其中\(a>0\)。曲線\(\Gamma\)：\(y=x^2\)經過\(A\)變換後可得曲線\(\Gamma'\)，則兩曲線\(\Gamma\)、\(\Gamma'\)所圍成的封閉區域面積為　　　。(以\(a\)表示)

9.
空間中\(A(a,a,a)\)、\(B(b,b,b)\)兩點與\(xy\)平面上兩點\(C\)、\(D\)是某個體積為72的正四面體之四頂點，若\(a>b>0\)，求\(a\)值為　　　。

10.
\(x\)、\(y\)為任意實數，定義：\(f(x,y)=\sqrt{(2x-2)^2+(2y-4)^2+(2x-y+9)^2}+\sqrt{(2x+2)^2+(2y+6)^2+(2x-y+11)^2}\)求\(f(x,y)\)的最小值　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

11.
\(z\)、\(w\)為複數，\(z\)滿足：\(\displaystyle\left|\frac{z-i}{z-1}\right|=k\)，其中\(2\le k\le5\)，\(w\)滿足：\(w+\bar{w}=-6\sqrt{2}\)求\(\displaystyle\left|z-\frac{1+i}{\sqrt{2}}w\right|\)的最小值為　　　。

二、計算題
1.
\(0<\theta<2\pi\)且\(\displaystyle\theta\neq\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\)，求方程式：\(\displaystyle\left|\log\left(\frac{|\sin2\theta|}{2}\right)-2\log(|\cos\theta|)\right|=5-\tan\theta\)的實根數。

2.
\(a\)為實數，實係數多項式\(f(x)\)滿足：\((x^2+x+1)f(x)=2x^{302}+x^{100}+x^{61}+a\)求：
(1)\(a\)值
(2)\(f(x)\)除以\((x^2-x+1)\)的餘式
(3)\(f(x)\)除以\((x^2+x+1)\)的餘式

3.
\(\triangle PQR\)為正三角形，點\(A\)、\(B\)、\(C\)分別位於\(\overline{PQ}\)、\(\overline{QR}\)、\(\overline{RP}\)上。且\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=4,\overline{CA}=3\)，求\(\triangle PQR\)的最大可能面積。

作者: BambooLotus 時間: 2025-3-10 08:48 標題: 回覆 14# cut6997 的帖子

微分的想法很棒，幫你補上過程
\( 2x^{302}+x^{100}+x^{61}+2=(x^2+x+1)f(x)=(x^2+x+1)[(x^2+x+1)Q(x)+(Ax+B)] \)
\( = (x^2+x+1)^2Q(x)+(x^2+x+1)(Ax+B) \)
微分
\( 604x^{301}+100x^{99}+61x^{60}=2(x^2+x+1)(2x+1)Q(x)+(x^2+x+1)^2Q'(x)+(2x+1)(Ax+B)+(x^2+x+1)A \)
由廣義餘式定理，代入\( x^3=1 \)：
\( 604x + 161 = (-A+2B)x+(B-2A) \) (右邊是長除法的結果)
比較係數即可得\( A=94,B=349 \)

作者: peter0210 時間: 2025-3-10 11:10

填充9，想詢問各位老師，答案是否有誤

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作者: thepiano 時間: 2025-3-11 09:29 標題: 回覆 20# peter0210 的帖子

第 9 題
官方答案給錯了，有老師去提疑義嗎？

正四面體 ABCD
A(a，a，a)、B(b，b，b)，C 和 D 在 xy 平面上

體積 72，易知邊 AB = 6√2 = √3(a - b)
a - b = 2√6

設 AB 中點 M((a + b)/2，(a + b)/2，(a + b)/2)，CD 中點 N
直線 OM：x = y = z ，直線 ON：x = y，z = 0
tan∠MON = 1/√2

歪斜線長 MN = (√2/2) * 6√2 = OM * tan∠MON = (√6/4)(a + b)
a + b = 4√6

a = 3√6，b = √6

作者: Superconan 時間: 2025-3-11 10:43 標題: 回覆 21# thepiano 的帖子

學校有放更正版的答案以及解析， kobelian 老師有放在第一頁了

學校官方版題目沒有標題，我另外製作了一個，如果有考生需要，可以自行取用～

附件: 臺南一中114_試題.pdf (2025-3-11 10:43, 550.25 KB) / 該附件被下載次數 2502
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作者: Maomao 時間: 2025-3-11 15:32

圖片附件: IMG_0130.jpeg (2025-3-11 15:33, 149.3 KB) / 該附件被下載次數 2146
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作者: ruee29 時間: 2025-3-16 09:32

整理了填充題解答，供參考
補充計算2~

附件: 114台南一中填充題.pdf (2025-3-16 09:32, 1.84 MB) / 該附件被下載次數 2307
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7334&k=fe1871606c8c51278e6e229c5b0c8749&t=1782277631

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作者: kuen 時間: 2025-4-4 19:11 標題: 高中幾何

PQR是正三角形,A,B,C分別在PQ,QR,PR邊上 AB=5,BC=4,AC=3 則PQR面積最大值為何
請教各位多謝

作者: thepiano 時間: 2025-4-4 19:55 標題: 回覆 1# kuen 的帖子

114 臺南一中計算第三題

作者: kuen 時間: 2025-4-5 03:22

多謝
順便回覆11題

作者: kuen 時間: 2025-4-5 03:23

https://blog.udn.com/zen2020/182130856

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