標題:
例題：試證明對於自然數k，若2^k-1為質數，則k必為質數。
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作者:
weiye
時間:
2007-10-5 23:42
標題:
例題：試證明對於自然數k，若2^k-1為質數，則k必為質數。
引用:
試證明對於自然數k，若2^k-1為質數，則k必為質數。
若 k 為合數，設 k = m*n (正整數 m,n>1)
令 2^m = t
則
2^k - 1 = 2^(m*n) - 1
= t^n -1
= (t - 1)(t^(n-1) + t^(n-2)+...+t+1)
其中
t - 1 = 2^m -1 ≧ 2^2 -1 = 3 >1
且
t^(n-1) + t^(n-2)+...+t+1 ≧ t + 1 = 2^2 + 1 >1
故 2^k - 1 為合數，矛盾，
因此，若 2^k - 1 為質數，則 k 必為質數。
原討論串：
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=34589
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