標題: 113臺北市立復興高中 [打印本頁]

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作者: liusolong    時間: 2024-6-27 15:27     標題: 113臺北市立復興高中

113臺北市立復興高中

附件: 臺北市立復興高中第二次教師甄選初試題目答案公告.pdf (2024-6-27 15:27, 554.69 KB) / 該附件被下載次數 3348
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作者: bugmens    時間: 2024-6-27 22:54

一、填充題
1.
函數\(f(x)\)為49次多項式，\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\ldots,50\)皆成立，則\(f(-2)=\)　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

5.
袋中有紅球5個、白球3個、黑球4個，若每球被選取的機會均等，今每次由袋中取一球，取後不放回，取完為止，則黑球最先取完的機率為　　　。
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html

二、計算證明題
2.
將一列7個小方格最左邊的黑棋向右移動到最右邊的小方格，每次移動1格或2格：
(1)共有　　　種將黑棋最左格移動到最右格的移動方法。
(2)假設(1)中的每一種移動方法的機會均等，則「移動次數」的期望值為　　　次。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=9#pid7212

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作者: cyxhola    時間: 2024-6-30 12:13

想請問填充7和計算一，謝謝！

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作者: liusolong    時間: 2024-7-1 10:27     標題: 計算1&填充7

填充7
設\(\displaystyle f(x)=|\;log\frac{x-k}{3}|\;\)，其中\(k\)為實數。若坐標平面上\(P\)、\(Q\)兩點的坐標分別為\((1,f(1))\)、\((3,f(3))\)，試問當\(k\)為　　　時，直線\(\overline{PQ}\)的斜率會最大。

計算1
設矩陣\(A\in M_{m\times n}\)，\(B\in M_{n\times m}\)，\(I_m\in M_{m\times m}\)，\(I_n\in M_{n\times n}\)。若\(I_m-AB\)可逆，則\(I_n-BA\)可逆，試求\((I_n-BA)^{-1}\)。

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作者: swallow7103    時間: 2024-7-1 23:17     標題: 回覆 4# liusolong 的帖子

補充一下反方陣的靈感來源，不然直接蹦出那麼複雜的方陣，不是很直觀。下面用英文寫：
Since \( I_m -AB \) is invertible, there exists an \(m \times m \) matrix \( C\) such that  \( ( I_m-AB) C=C( I_m-AB) =I_m\),
hence, \(ABC=CAB\).
So,\( I_n -BA=I_n - B(I_m -AB)CA = I_n - BCA + B(ABC)A = I_n - BCA + B(CAB)A=I_n - (BCA- BCABA) = I_n - BCA(I_n- BA) \),
therefore, \( I_n -BA=I_n - BCA(I_n- BA) \).
This implies \( (I_n -BA)+ BCA(I_n- BA)=I_n \), so we get \( (I_n + BCA)(I_n -BA)=I_n \).
Finally, check \( (I_n -BA)(I_n + BCA)=I_n \) to  get the conslusion.

Furthermore, substitute \( C \) with \( \displaystyle (I_m-AB)^{-1} \), we get \(\displaystyle (I_n -BA)^{-1} = (I_n + B(I_m-AB)^{-1}A) \)

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作者: iamagine    時間: 2024-7-2 18:39     標題: 想問填充6、填充8

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作者: liusolong    時間: 2024-7-3 10:19     標題: 回覆 5# swallow7103 的帖子

感謝 swallow7103 (一開始，我是用湊的，所以一直在等高手來幫忙解答)，謝謝啦!!!!

附件: (計算1)重抄swallow7103.pdf (2024-7-3 10:19, 340.04 KB) / 該附件被下載次數 3077
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作者: thepiano    時間: 2024-7-3 16:27     標題: 回覆 6# iamagine 的帖子

第 8 題
在多面體\(ABCDEF\)中，已知平面\(ABCD\)是邊長為1的正方形，且\(\triangle ADE\)、\(\triangle BCF\)均為正三角形，\(\overline{EF}// \overline{AB}\)且\(\overline{EF}=2\)，則多面體\(ABCDEF\)的體積為　　　。
[解答]
取 EF 中點 M
ME = MA = MD = 1
MF = MB = MC = 1
M-ADE 和 M-BCF 都是邊長為 1 的正四面體

M-ABCD 是底面邊長 1 的正方形，高 √2/2 的四角錐

所求即這 3 個型體的體積和

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作者: iamagine    時間: 2024-7-3 18:17     標題: 回覆 8# thepiano 的帖子

謝謝老師的教學，我懂第8題了，感謝 ^^

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作者: thepiano    時間: 2024-7-3 21:27     標題: 回覆 6# iamagine 的帖子

第 6 題
已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}\times \overline{AC}=15\)，\(\angle A\)的角平分線長度為3，則\(\triangle ABC\)的最大面積為　　　。
[解答]
AB = x，AC = 15/x
角平分線 AD = √(AB * AC - BD * CD) = 3
BD * CD = 6
BD = y，CD = 6/y

x / (15/x) = y / (6/y)
y = (√10/5)x
BC = (√10/5)x + (3√10)/x

用餘弦定理可求出 cosA = [(3/5)x^2 + 135/x^2 - 12]/30 >= (18 - 12)/30 = 1/5
△ABC = (1/2) * 15 * √[1 - (cosA)^2] <= (15/2) * (2/5)√6 = 3√6

這題考填充，一定很多人會猜 AB = AC，考計算會好一點

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作者: iamagine    時間: 2024-7-3 22:13     標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

謝謝老師，第6題也弄懂了，非常感謝

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作者: ruee29    時間: 2024-7-7 11:17

整理了復興高中填充題解答 供參

附件: 113復興高中填充題解答.pdf (2024-7-7 11:17, 1.44 MB) / 該附件被下載次數 1678
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