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標題: 113松山高中二招試題 [打印本頁]

作者: darren217 時間: 2024-6-2 23:32 標題: 113松山高中二招試題

有鑑於松山以往好像都沒有公告題目，附檔為小弟記憶之版本，有遺漏錯誤之處，再煩請各位老師補充，謝謝~！

註：pdf檔為避免超過檔案大小上限，可能有點模糊，可以參考圖片檔！

6/4更新：學校已公告填充題題目與答案，如附檔。

附件: 113松山高中第二次教師甄試(記憶版).pdf (2024-6-2 23:32, 286.96 KB) / 該附件被下載次數 688
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7134&k=20f8107b9ac8564c543fc4b249e510df&t=1732275136

圖片附件: 填充9~10+計算1~2.jpg (2024-6-2 23:32, 192.17 KB) / 該附件被下載次數 502
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7136&k=f3c6a003850946153054e270e038163c&t=1732275136

圖片附件: 計算3+證明1~2.jpg (2024-6-2 23:32, 212.74 KB) / 該附件被下載次數 446
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7137&k=6ba12ca2ee74dc75b4b85e94ce24f3a4&t=1732275136

附件: 113第2次正式教師甄選_ 數學科(公告).pdf (2024-6-4 11:05, 284.79 KB) / 該附件被下載次數 699
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7138&k=5b180ea3455f6521cfbc1b10dcdcc58b&t=1732275136

作者: bugmens 時間: 2024-6-3 09:42

1.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(a_1=3\)，且滿足\(a_{n+1}=4+a_n+\sqrt{1+16a_n}\)，求數列一般項\(a_n=\)？

數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)、\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)，求此數列的一般項\(a_n\)。
(109中科實中國中部，連結解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3347&page=1#pid21480)

9.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}=\)？

二、計算題
3.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{AC}=b\)，\(\overline{AB}=c\)，\(\triangle ABC\)的內切圓分別交\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}\)於\(D,E,F\)三點，若令\(\overline{AD}=x,\overline{BE}=y,\overline{CF}=z\)
(1)試證明：\(\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\)
(2)證明：\(abc\ge (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\)．並說明等號成立時，\(\triangle ABC\)為正三角形。

作者: kobelian 時間: 2024-6-4 12:35 標題: 113松山高中二招

想請問老師 1 2 3 8 10
謝謝老師

113.6.4版主補充
官方題目統一由第一篇下載，此篇題目先行移除

作者: thepiano 時間: 2024-6-4 19:25 標題: 回覆 3# kobelian 的帖子

第 2 題
f(x) * f(1/x + f(x)) = 1
f(1) * f(1 + f(1)) = 1
令 f(1) = k
k * f(1 + k) = 1
f(1 + k) = 1/k

f(1 + k) * f(1/(1 + k) + f(1 + k)) = 1
f(1/(1 + k) + 1/k) = k = f(1)
1/(1 + k) + 1/k = 1
k = (1 + √5)/2 或 (1 - √5)/2

當 k = (1 + √5)/2，f(1 + k) = 2/(1 + √5) < 1 < k = f(1)，不合

作者: Ellipse 時間: 2024-6-4 22:02

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-6-4 12:35 發表
想請問老師 1 2 3 8 10
謝謝老師

#8
n=p , 2c=4,c=2
m=n+2² =p+4
p-q=4 ,q=p-4
所求=m*q-n*p=(p+4)(p-4)-p² = -16

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-6-4 22:20 編輯 ]

圖片附件: 1717510813245.jpg (2024-6-4 22:20, 49.63 KB) / 該附件被下載次數 415
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7143&k=a36520e1a796d52f5000e29816481ebe&t=1732275136

作者: Dragonup 時間: 2024-6-5 06:48 標題: 回覆 3# kobelian 的帖子

question 3:
因為 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)，
因此 \(\det(AB)\) 可能取值 \(-1,0,1\)，
對於 \(AB\) 的每一元只能取值 \(0,1,2\)，
若主對角線乘積為 \(4\)，則有 \(1\) 種副對角線取值；
若主對角線乘積為 \(2\)，則有 \(3\) 種副對角線取值；
若主對角線乘積為 \(1\)，則有 \(8\) 種副對角線取值；
若主對角線乘積為 \(0\)，則有 \(6\) 種副對角線取值；
因此共有 \(1+2\times3+5\times6+8=45\) 種不同的\(AB\)

[ 本帖最後由 Dragonup 於 2024-6-5 06:53 編輯 ]

作者: swallow7103 時間: 2024-6-5 14:08 標題: #證明第2題

由\( (A+B)^{-1}(A+B)=I_n \)，推知\( (A+B)^{-1}A+(A+B)^{-1}B=I_n \)，等式兩邊左乘A，得\( A(A+B)^{-1}A+A(A+B)^{-1}B=A \)...(1)
由\( (A+B)(A+B)^{-1}=I_n \)，推知\( A(A+B)^{-1}+B(A+B)^{-1}=I_n \)，等式兩邊右乘A，得\( A(A+B)^{-1}A+B(A+B)^{-1}A=A \)...(2)

由(1)及(2)，\( A(A+B)^{-1}B =A-A(A+B)^{-1}A=B(A+B)^{-1}A\)

作者: darren217 時間: 2024-6-6 00:23 標題: 回覆 3# kobelian 的帖子

第1題：
\(\begin{array}{l}
{a_2} = 4 + {a_1} + \sqrt {1 + 16{a_1}}  = 4 + 3 + 7 = 14\\
{a_3} = 4 + {a_2} + \sqrt {1 + 16{a_2}}  = 4 + 14 + 15 = 33\\
{a_4} = 4 + {a_3} + \sqrt {1 + 16{a_3}}  = 4 + 33 + 23 = 60\\
{a_5} = 4 + {a_4} + \sqrt {1 + 16{a_4}}  = 4 + 60 + 31 = 95
\end{array}\)
注意到7,15,23,31成等差，因此可得
\[{a_n} = 4 + {a_{n-1}} + (8n-9)  = a_{n-1} + 8n-5\]
則可得
\[\begin{array}{l}
{a_1} = 3\\
{a_2} = {a_1} + 11\\
{a_3} = {a_2} + 19\\
{\rm{    }} \vdots \\
{a_n} = {a_{n - 1}} + (8n - 5)
\end{array}\]
連加可得
\({a_n} = \displaystyle{\frac{{[3 + (8n - 5)] \times n}}{2}} = 4{n^2} - n\)

[ 本帖最後由 darren217 於 2024-6-6 00:26 編輯 ]

作者: superlori 時間: 2024-6-6 11:07 標題: 回覆 3# kobelian 的帖子

請參考附件

圖片附件: IMG_0050.jpeg (2024-6-6 11:07, 236.95 KB) / 該附件被下載次數 433
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7145&k=6a9677405c26d983265fae966415b64d&t=1732275136

作者: Superconan 時間: 2024-6-9 10:37

請問第 7 題

作者: thepiano 時間: 2024-6-9 13:22 標題: 回覆 10# Superconan 的帖子

第 7 題
作 AM 垂直平面 BCD 於 M；GN 垂直平面 BCD 於 N
設 AM = h，則 GN = h/3
作 DE 垂直 BC 於 E
設 BC = x，NE = (1/3)ME = (1/3)(1/3)DE = (1/9)DE
DN = (8/9)DE = (8/9)(√3/2)x = (4√3/9)x
GN = √(DG^2 - DN^2) = √[1 - (16/27)x^2]

A-BCD 體積 = (h/3)(√3/4)x^2 = √(3/16)x^4 - (1/9)x^6]
微分可知，當 x^2 = 9/8 時，體積有最大值 9/32

作者: ruee29 時間: 2024-6-9 16:46

整理了松山高中二招填充題解答供參

附件: 113松山高中二招填充題解答.pdf (2024-6-9 16:46, 1.02 MB) / 該附件被下載次數 335
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7147&k=631e12b4892e01177542e69531a38b3d&t=1732275136

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