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標題: 113板橋高中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2024-6-2 20:04 標題: 113板橋高中

　

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作者: bugmens 時間: 2024-6-2 21:05

1.
設\(a,b\)為正整數，且\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2032}\)，則\((a,b)\)有　　　組正整數解。
https://math.pro/db/thread-664-1-1.html

8.
袋中有3顆黑球、5顆白球和7顆紅球，一次取一球，每球被取中的機會均等，取後不放回，若紅球最先被取完的條件下，黑球最後被取完的機率為　　　。
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html

10.
方程式\(\displaystyle x=\sqrt{x^2-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)的解為\(x=\)　　　。

解\(\displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)
(99鳳新高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156)

11.
在四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\overline{CD}=\sqrt{34},\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{29},\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{13}\)，則\(ABCD\)的外接球表面積為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2317&page=3#pid14966

作者: peter0210 時間: 2024-6-4 20:53

填充9
複數\(z=a+bi\)，其中\(a,b\in R\)，滿足\(|\;z^2+z+2|\;=2\)，求\(b\)的最大值為　　　。
[解答]

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作者: peter0210 時間: 2024-6-4 21:36

填充12
設\(A\)是由任意50個相異正整數組成的集合。令\(\displaystyle B=\{\;\frac{a}{b}|\;a,b\in A且a\ne b\}\;\)。\(|\;B|\;\)表示集合\(B\)中的元素個數，則\(|\;B|\;\)的最大值與最小值分別為\(M,m\)，則\(M+m=\)　　　。
[解答]

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作者: lovejade 時間: 2024-6-14 18:20

想請教一下填充第5題，謝謝

作者: Ellipse 時間: 2024-6-14 18:49

#5
已知\(x\)和\(y\)均為正數，且\(\cases{x^2y\le 10000\cr xy^4\ge 1000\cr x^5y\ge 100000}\)，則\(\displaystyle \frac{x}{y}\)的最大值為　　　。
[解答]
令X=log_10 (x) , Y=log_10 (y)
題目改成在下列限制範圍,求X-Y的最大值
2X+Y≦4, X+4Y≧3 ,5X+Y≧5
令A(1/3,10/3) ,B(13/7,2/7),C(17/19,10/19)
為所圍區域面積三個頂點
當X=13/7,Y=2/7,X-Y有最大值11/7
所以log_10 (x/y)=X-Y≦11/7
x/y≦10^(11/7) ,所求最大值=10^(11/7)

作者: lovejade 時間: 2024-6-14 20:03 標題: 回覆 6# Ellipse 的帖子

謝謝老師，我看懂了!

作者: lovejade 時間: 2024-6-15 14:32

想再請教一下填充第6、7題，謝謝

作者: thepiano 時間: 2024-6-15 17:18 標題: 回覆 8# lovejade 的帖子

第 6 題
設\(A\)為二階方陣，\(I\)為二階單位方陣，\(A^T\)為\(A\)的轉置矩陣。已知\(A^T A=AA^T=I\)且\(detA>0\)，\(A\left[\matrix{3 \cr 4}\right]=\left[\matrix{4\cr 3}\right]\)，則矩陣\(A\)可將直線\(x+y=7\)對應到的圖形方程式為　　　。
[解答]
矩陣 A 把點(3，4) 變換到點(4，3)，detA > 0，(A^T)A = A(A^T) = I
可知 A 是旋轉矩陣

利用和角公式可求出
A =
[24/25 7/25]
[-7/25 24/25]

點(3，4) 和點(4，3) 在 x + y = 7 上
矩陣 A 把點(3，4) 變換到點(4，3)
矩陣 A 把點(4，3) 變換到點(117/25，44/25)

利用點斜式可求出 31x + 17y = 175

第 7 題
在空間坐標系中，已知\(\overline{AB}\)的中點為\((2,3,4)\)，且\(\overline{AB}=10\)，若動點\(P\)滿足\(\vec{PA}\cdot \vec{PB}=1\)，且\(P\)點到直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-8}{2}=\frac{y-9}{1}=\frac{z-10}{-2}\)的最短距離為　　　。
[解答]
向量 PA˙向量 PB = PA * PB * cosθ = 1
由餘弦定理 PA^2 + PB^2 - 2 * PA * PB * cosθ = AB^2
PA^2 + PB^2 = 102

P(x，y，z)、A(2 + a，3 + b，4 + c)、B(2 - a，3 - b，4 - c)
AB^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 100， a^2 + b^2 + c^2 = 25
PA^2 + PB^2 = (x - 2 - a)^2 + (y - 3 - b)^2 + (z - 4 - c)^2 + (x - 2 + a)^2 + (y - 3 + b)^2 + (z - 4 + c)^2 = 102
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = (√26)^2

(2，3，4) 到直線 L：(x - 8)/2 = (y - 9)/1 = (z - 10)/(-2) 的最短距離 = 2√26

所求 = 2√26 - √26 = √26

作者: lovejade 時間: 2024-6-15 19:17 標題: 回覆 9# thepiano 的帖子

謝謝老師回覆，我理解了!

作者: yuhui1026 時間: 2024-6-16 09:41

計算4.
設\(\overline{AB}\)為半圓\(O\)的直徑，\(C\)為半圓\(O\)上一點，\(\overline{CD}\)垂直\(\overline{AB}\)於\(D\)點，且知圓\(P\)分別與\(\overline{DB},弧BC,\overline{CD}\)相切於\(E,F,G\)三點(如下圖)及圓\(Q\)分別與\(\overline{AD},弧AC,\overline{CD}\)相切於\(H,I,J\)。
(1)試證\(\overline{AC}=\overline{AE}\)。
(2)設\(\triangle ABC\)的內切圓半徑為\(r\)，圓\(P\)、圓\(Q\)的半徑分別為\(r_1,r_2\)，證明：\(\displaystyle r=\frac{r_1+r_2}{2}\)。

請問計算四(2)
看了很久，還是不知道從哪作起

------附上已經解出的四(1)------

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作者: thepiano 時間: 2024-6-16 10:24 標題: 回覆 11# yuhui1026 的帖子

計算第 4(2) 題
r = (AC + BC - AB) / 2 = (AE + BH - AB) / 2 = HE / 2 = (r_1 + r_2) / 2

作者: yuhui1026 時間: 2024-6-16 10:31 標題: 回覆 12# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，太神了！

作者: ruee29 時間: 2024-6-16 15:01

整理了填充題解答供參

附件: 113板橋高中二招填充題解答.pdf (2024-6-16 15:01, 1.39 MB) / 該附件被下載次數 561
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作者: lovejade 時間: 2024-6-16 17:49

想請教一下計算1跟3的做法，謝謝

另外想請問計算2，
若假設x_n+1=b_n+1 / a_n+1
得到x_n+1=2/x_n + x_n/2
後面可以用算幾不等式得極限值是2嗎?

作者: tsusy 時間: 2024-6-17 13:26 標題: 回覆 15# lovejade 的帖子

計算2.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)和\(\langle\;b_n \rangle\;\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\times b_n\)，\(b_{n+1}=4a_n^2+b_n^2\)，且\(a_1=7\)，\(b_1=3\)。試證：數列\(\displaystyle \langle\;\frac{b_n}{a_n} \rangle\;\)是收斂數列，並求其極限值。

算幾不等式只能得到"下界"，極限值還是需要極限的定義或收斂的性質。

計算3.
在坐標空間中，\(O\)為原點，已知曲面\(\sqrt{(x+y-3)^2+z^2}=6-2y\)的圖形為一錐體的表面，且此錐體與\(xy\)平面、\(yz\)平面、\(xz\)平面在第一卦限所圍成的封閉立體圖形(含表面)為\(\Omega\)。試以下列步驟求出\(\Omega\)的體積：
(1)先在\(\Omega\)內找出一線段並分割成\(n\)等分，設分點依序為\(P_0,P_1,\ldots,P_{n-1},P_n\)，考慮以通過點\(P_k\)且垂直\(\overline{P_0P_n}\)的平面\(E_k\)，以平面\(E_k\)與\(\Omega\)所截的區域為底面，\(\overline{P_kP_{k+1}}\)為高所形成的立體圖形為\(\Omega\)的一個切片。請利用此切片方法寫下估計\(\Omega\)體積的黎曼和(不需化簡)。
(2)承(1)，以定積分形式表示\(\Omega\)的體積並求其值。
[解答]
\( 6-2y = \sqrt{(x+y-3)^2+z^2} \ge 0 \) \( \Rightarrow y \le 3 \)
又題意限制在第一卦限之中，故可取 \( P_0(0,0,0), P_n(0,3,0) \)

平面 \( E: y = t \) 與錐體交於 \( (x-(3-t))^2 + z^2 = (6-2t)^2 \) 且 \( y =t \)
為平面 \( E \) 上的一個圓，其圓心 \( (3-t,t,0) \) 半徑 \( 6-2t \)
其在第一卦限所截圖形如下圖：

圖形由一個三分之一圓和直角三角形(三內角 30°,60°,90°) 組成

故此截面在第一卦限的面積為 \( \frac{1}{3} \pi (6-2t)^2 + \frac{1}{2}(3-t)\cdot \sqrt{3}(3-t) \)

故以切片法表示的黎曼和可為
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{3}{n} \times \left( \frac{1}{3} \pi (6-\frac{6k}{n})^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}(3-\frac{3k}{n})^2 \right) \)

所求體積為 \( \displaystyle \int_{0}^3 \left( \frac{1}{3} \pi (6-2y)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}(3-y)^2 \right)dy = 12\pi + \frac{9}{2} \sqrt{3} \)
(有點醜，不知道有沒有計算錯誤)

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作者: lovejade 時間: 2024-6-17 16:12 標題: 回覆 16# tsusy 的帖子

非常感謝寸絲老師的回覆。我需要花點時間研究一下計算3。
請問計算第2題，我還是需要求出b_n / a_n的一般項才可以求得極限值嗎?!還是有其他的方式可以求呢?

作者: weiye 時間: 2024-6-17 16:50 標題: 回覆 17# lovejade 的帖子

計算第 2 題：
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)和\(\langle\;b_n \rangle\;\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\times b_n\)，\(b_{n+1}=4a_n^2+b_n^2\)，且\(a_1=7\)，\(b_1=3\)。試證：數列\(\displaystyle \langle\;\frac{b_n}{a_n} \rangle\;\)是收斂數列，並求其極限值。
[解答]
令 \(\displaystyle c_n = \frac{b_n}{a_n}\)，則

\(\displaystyle c_{n+1}=\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{4a_n^2+b_n^2}{2a_n b_n}=\frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\)

且 \(\displaystyle c_1 = \frac{b_1}{a_1}=\frac{3}{7}>0\)，

對任意正整數 \(n\)，恆有 \(c_n>0\) 且 \(\displaystyle c_{n+1} = \frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\geq 2\sqrt{\frac{c_n}{2}\cdot\frac{2}{c_n}}=2\) 。

對任意大於 \(2\) 的正整數 \(n\) ，恆有 \(\displaystyle c_{n+1} - c_{n} = \left(\frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\right)-c_n = \frac{2^2 - c_n^2}{2 c_n}\leq 0\)，即 \(c_{n+1}\leq c_n\)。

因為 \(\left \langle c_2, c_3, c_4, c_5 , \cdots\right\rangle\) 是遞減且有下界的數列，可得 \(\left \langle c_n\right\rangle\) 數列收斂，即  \(\displaystyle \left \langle \frac{b_n}{a_n}\right\rangle\) 數列收斂。

因為非負數列  \(\left \langle c_n\right\rangle\) 收斂，可令 \(\displaystyle x=\lim_{n\to\infty} c_n\geq 0 \)，則

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{c_n}{2}+\frac{2}{c_n}\right) = \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n}{2}+\frac{2}{\displaystyle  \lim_{n\to\infty} c_n}\)

\(\displaystyle\Rightarrow x = \frac{x}{2}+\frac{2}{x}\Rightarrow x=\pm 2\)（負不合）。

故 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n=2\)，即 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}=2\) 。

作者: lovejade 時間: 2024-6-17 17:19 標題: 回覆 18# weiye 的帖子

原來後面是要這樣證的，非常謝謝瑋岳老師回覆。

作者: tsusy 時間: 2024-6-17 19:56 標題: 回覆 15# lovejade 的帖子

計算 1.
\(f(x),g(x)\)為三次實係數多項式，證明：1,2,3,5,6,7,9,10,11不可能均為方程式\(f(g(x))=0\)的解。
[解答]
不失一般性假設 \( f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \)，其中 \( a\neq0, \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C} \)

因此 \( f(g(x))=0\Leftrightarrow(g(x)-\alpha)(g(x)-\beta)(g(x)-\gamma)=0 \)

歸謬地假設 1,2,3,5,6,7,9,10,11 均為 \( f(g(x))=0 \) 之解。

注意到 \( f(g(x)) \) 為 9 次多項式，故 \( f(g(x))=0 \) 之解為此 9 相異實根。

因此 \( \alpha,\beta,\gamma \) 均為實數、兩兩相異且 \( g(x)-\alpha=0, g(x)-\beta=0, g(x)-\gamma=0 \) 均有三相異實根

(若相同，則 \( f(g(x))=0 \) 必有重根，若 \( \alpha \) 為虛數，則 \( g(x)-\alpha=0 \) 無實根。)

不失一般性假設 \( \alpha<\beta<\gamma \)。

(1) 若 \( g(x) \) 的領導係數為正，\( y=g(x), y=\alpha, y=\beta, y=\gamma \) 在坐標平面上的圖形如下圖所示：

因此 \( g(x)-\alpha=0 \) 的三根為 1,7,9、 \( g(x)-\beta=0 \) 的三根為 2,6,10、 \( g(x)-\gamma=0 \) 的三根為 3,5,11

而由根與係數關係可得 \( 1+7+9=2+6+10=3+5+11 \)，但此三式並不相等，而得矛盾。

(2) 當 \( g(x) \) 的領導係數為負時，同理可得矛盾。

故假設錯誤，即原命題得證。

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作者: lovejade 時間: 2024-6-17 22:13 標題: 回覆 20# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師，我懂了。

作者: Hawlee 時間: 2024-6-21 10:42 標題: 回覆 11# yuhui1026 的帖子

可以請問為什麼可以直接看出O、P、F三點共線嗎，謝謝

作者: yuhui1026 時間: 2024-6-21 14:26

兩圓相切，連心線必通過切點。
不曉得此題證明需要証嗎？
我以為可以不用証了，就一筆代過了耶

作者: Hawlee 時間: 2024-6-21 15:45 標題: 回覆 23# yuhui1026 的帖子

了解，謝謝老師

作者: swallow7103 時間: 2024-6-22 11:32 標題: 填充第7題另解

在空間坐標系中，已知\(\overline{AB}\)的中點為\((2,3,4)\)，且\(\overline{AB}=10\)，若動點\(P\)滿足\(\vec{PA}\cdot \vec{PB}=1\)，且\(P\)點到直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-8}{2}=\frac{y-9}{1}=\frac{z-10}{-2}\)的最短距離為　　　。
[解答]
設P(x,y,z)、M(2,3,4)

以下省略向量符號：
PA．PB = (PM+MA)．(PM+MB)= PM．PM + (MA．PM+MB．PM) + MA．MB = PM．PM+ (MA+MB)．PM+ 5．5．cos(pi) =PM^2 - 25
所以 PM^2 - 25 = 1，即PM^2 = 26，即\( (x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2=26 \)，所求為球上一點P到直線\(\displaystyle L：\frac{x - 8}{2} = \frac{y - 9}{1} = \frac{z - 10}{-2} \) 的最短距離。再來就如同前面鋼琴老師的作法。

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