標題: 113桃園市高中聯招 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2024-6-2 11:52     標題: 113桃園市高中聯招

　

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作者: bugmens    時間: 2024-6-2 11:52

2.
已知空間中一點\(P(7,1,\sqrt{15})\)，點\(Q\)為\(x\)軸上一動點，點\(R\)為\(y軸上一動點\)，試求三角形\(PQR\)周長的最小值。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

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作者: CYC    時間: 2024-6-3 21:13

請問 1,4,9,10

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作者: swallow7103    時間: 2024-6-3 23:13

第九題
\[(1)原式= \frac{1}{\sqrt{2}ln2} + \frac{1}{\sqrt{3}ln3} + \frac{1}{\sqrt{4}ln4} + \frac{1}{\sqrt{5}ln5}+ ...  > \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4} \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{5}}+...
= \frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... ，故級數發散。\]

\[(2)原式 = \frac{7}{7}+\frac{7}{9^2}+\frac{7}{11^3}+\frac{7}{13^4}+... =7(\frac{1}{7}+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{11^3}+\frac{1}{13^4})<7(\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^4}+...)=7*\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{49}{6}，故級數收斂。 \]

後記：有關級數或數列收斂，可以參考大一微積分課本的相關章節，如果對這邊夠熟應該會有體會，雖然有各式各樣的級數審斂法(Integral test、root test、ratio test...)，但原理仍是積分或等比級數。大致上可分兩類：交錯級數和非交錯級數。如果是交錯級數，只要每一項絕對值遞減且趨近於零，就會收斂。非交錯級數(假設每一項都是正數)，只要能找到一個收斂的積分或等比級數把原式bound住，就會收斂；反之若能找到一個被原式bound的發散積分或等比級數，那就發散。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-4 09:49 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2024-6-4 06:11     標題: 回覆 3# CYC 的帖子

第 1 題
sin7θ = -64(sinθ)^7 + 112(sinθ)^5 - 56(sinθ)^3 + 7sinθ

以 sin(2π/7)、sin(4π/7)、sin(6π/7)、sin(8π/7)、sin(10π/7)、sin(12π/7) 為六根的方程式為
-64x^6 + 112x^4 - 56x^2 + 7 = 0
所求 = (-56)/(-64) = 7/8

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作者: thepiano    時間: 2024-6-4 07:12     標題: 回覆 3# CYC 的帖子

第 4 題
先選 1 直行或 1 橫列，有 8 種選法，再從剩下的 12 格中挑 4 格，有 C(12，4) 種方法
所求  = 8 * C(12，4) / C(16，8)

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作者: CYC    時間: 2024-6-4 07:59

謝謝鋼琴老師、swallow7103老師回覆

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作者: ChuCH    時間: 2024-6-6 10:46     標題: 回覆 2# bugmens 的帖子

想問這題

我圖形畫出來感覺有誤

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作者: superlori    時間: 2024-6-6 12:20

113桃聯3

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作者: tsusy    時間: 2024-6-6 16:07     標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

填充 2. 我的作法也一樣，但做完發現線段 \( \overline{C'D'} \) 不過第一象限

共線時，在 \( \overline{C'D'} \) 上，點的順序為 \( C', B, A, D' \)

此時 \( \overline{C'A} + \overline{AB} + \overline{BD'} = \overline{C'D'} + \overline{AB} \)
不會等於 \( \overline{C'D'} \)

猜測是 \( a=b=0 \) 時，是下確界 \( 2\sqrt{65} \)

題意要求三角形，若猜測是對，此題最小值不存在。

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作者: thepiano    時間: 2024-6-6 17:38     標題: 回覆 11# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師指正，做的時候，沒發現 CD 不過第一象限

不過 C’A + AB + BD’ = C’D’ + 2AB

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作者: Hawlee    時間: 2024-6-7 14:51

想請問10、11

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作者: thepiano    時間: 2024-6-7 16:38     標題: 回覆 12# Hawlee 的帖子

第 11 題
若一週 7 天，每天依序吃 7、1、1、1、1、1、1 片餅乾
這樣有 “連續” 若干天中，小明恰吃了 7 片餅乾嗎？
若有算
設前 n 天吃的餅乾數為 S_n
1 ≦ S_1 < S_2 < S_3 < S_4 < S_5 < S_6 < S_7 ≦ 13
若 S_1 ~ S_7 中有一個為 7，得證
若 S_1 ~ S_7 中沒有 7，這七個數除以 7 的餘數必為 1 ～ 6 其中之一
由鴿籠原理，其中必有兩數除以 7 的餘數相同，得證

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-6-7 22:46 編輯 ]

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作者: idsharon    時間: 2024-6-17 17:09     標題: 回覆6# thepiano 的帖子

請問鋼琴老師，為什麼可以不用考慮X=1,2的情況來計算期望值呢？

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作者: thepiano    時間: 2024-6-17 21:27     標題: 回覆 14# idsharon 的帖子

先計算直行或橫列的總數，再除以個數，就是平均，也就是期望值
這樣做已同時計入您說的兩種狀況

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作者: idsharon    時間: 2024-6-18 13:35     標題: 回覆 15# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

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作者: iamagine    時間: 2024-6-19 11:04     標題: 回覆 5# thepiano 的帖子

想請教老師…
關於方程式，只能用和角公式慢慢換嗎？

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作者: Wei    時間: 2024-6-19 13:29     標題: 回覆 17# iamagine 的帖子

我自己是考慮e^i7x的虛部來計算，老師可以試試

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作者: iamagine    時間: 2024-6-19 15:56     標題: 回覆 18# Wei 的帖子

謝謝Wei老師

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