標題: 113高雄聯招 [打印本頁]

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作者: kobelian    時間: 2024-5-26 10:55     標題: 113高雄聯招

想請問  老師 4  14  15  16

附件: 試題-04數學科-113年.pdf (2024-5-26 10:55, 323.74 KB) / 該附件被下載次數 1102
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作者: bugmens    時間: 2024-5-26 11:37

9.
若\(\vec{a}=(-2,2,1),\vec{b}=(1,3,2),\vec{c}=(-2,3,1)\)，則當\(|\;\vec{a}-s\vec{b}-t\vec{c}|\;\)有最小值時，\((s,t)=\)　　　。

設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為　　　。
(102北一女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=2#pid7735)
另解，看成點到平面的距離https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=1#pid7734
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

11.
將表示式\((x+y+z)^{2024}+(x-y-z)^{2024}\)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項　　　。
連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

12.
設\(a,b\)皆表實數，且滿足\(\displaystyle sin a+sin b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\displaystyle cos a+cos b=\frac{\sqrt{6}}{2}\)，則\(sin(a+b)\)之值為多少　　　。
(96年度中山大學雙週一題，連結有解答https://math.pro/db/thread-482-1-1.html)

16.
箱中有編號1號到7號的7顆大小相同的球，每次從箱中任取一球，再放回箱中，重複取球\(n\)次，並記錄這\(n\)次取球的數字總和為\(S_n\)，假設\(S_n\)除以3餘1的機率為\(P_n\)，試求出\(P_n\)(以\(n\)表示)　　　。

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\(P(n)\)表示前次取球的編號之總和為偶數的機率。求\(P(n)\)？(以\(n\)表示)。
(99鳳新高中，連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089)

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作者: thepiano    時間: 2024-5-26 11:38     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

第 4 題
1 + 1/x = [x/(x + 1)]^(-1) = [1 - 1/(x + 1)]^(-1) = [1 + 1/-(x + 1)]^(-1)
(1 + 1/x)^(x + 1) = [1 + 1/-(x + 1)]^[-(x + 1)]
-(x + 1) = 2024
x = -2025

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作者: thepiano    時間: 2024-5-26 12:28     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

第 14 題
2 * [(a_1 + 1)/a_1] * [(a_1 + 2)/(a_1 + 1)] * … * [(a_1 + n)/(a_1 + n - 1)] = n
2 * (1 + n/a_1) = n
n = 2/(1 - 2/a_1)
a_1 = 3 時，n 有最大值 6
所求 = 3 + 4 + … + 8 = 33

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作者: thepiano    時間: 2024-5-26 13:30     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

第 15 題
z 在射線 y = -(x + 3) (x < -3) 上
|z - 3i| + |z + 6| = z 到 (0，3) 與到 (-6、0) 距離和
最小值 = √(6^2 + 3^2) = 3√5
所求 = √5/15

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-26 13:56 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-26 17:25

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-5-26 10:55 發表
想請問  老師 4  14  15  16

#16

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-26 21:28 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-26 19:46     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

#10
仿102數B統測試題

教甄也放統測試題了
不過這題也是當年最難之一
當年102數B只有12個100分
全國平均37點多,探低點
可別以為最低
隔年103數B全國平均掉到34點多

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-26 19:52 編輯 ]

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作者: peter0210    時間: 2024-5-26 20:19

填充16

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作者: idsharon    時間: 2024-5-27 14:56

想請問第6和13題

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作者: thepiano    時間: 2024-5-27 15:24     標題: 回覆 9# idsharon 的帖子

第 6 題
x + my = 0，過定點 A(0，0)
mx - y - m + 3 = 0，過定點 B(1，3)

易知兩直線垂直
PA^2 + PB^2 = AB^2 = 10

√(PA^2 * PB^2) ≦ (PA^2 + PB^2)/2
PA * PB ≦ 5


第 13 題
令 EF = x，CE = xcosθ
∠DEF = ∠DBE = 60 度
∠BDE = ∠FEC = θ

由正弦定理
BE/sinθ = DE/sin60度
BE = (2/√3)xsinθ

xcosθ + (2/√3)xsinθ = 1
x = 1/[cosθ + (2/√3)sinθ] = √3/(2sinθ + √3cosθ] = √3/[√7sin(θ + α)]
當 sin(θ + α) = π/2 時，x 有最小值
此時 sinθ = cosα = 2/√7

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-27 17:52 編輯 ]

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作者: farmer    時間: 2024-5-28 13:06     標題: 回覆 8# peter0210 的帖子

第16題好漂亮的解法

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作者: idsharon    時間: 2024-5-28 20:53     標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

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作者: jerryborg123    時間: 2024-5-28 21:05     標題: 第三題

請教第三題最大值怎麼求？

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作者: swallow7103    時間: 2024-5-28 22:17     標題: 回覆 13# jerryborg123 的帖子

(解一)
由\( x+y+z=3 \)可得\(  x+y=3-z \)，是故目標函數可改寫為\(  x+y-2z=3-3z \)，因此專注在\( z \)的最大最小值上。
再來就老梗了，移項->柯西不等式->多項式不等式。
由\(  x+y=3-z、x^2+y^2=9-z^2 \)可得\(  (x^2+y^2)(1^2+1^2) \ge (x+y)^2 \)，因此\(  (9-z^2)(2) \ge (3-z)^2 \)
化簡得 \( 0 \ge z^2-2z-3\)，即\(  0\ge (z+1)(z-3) \)，故z的最大值為3，最小值-1，因此所求最大值為6，最小值為-6

(解二) Lagrange multiplier
定義 \[  \nabla f=(\partial_x f,\partial_y f,\partial_z f) \]。
設\(  f(x,y,z)=x+y+z-3、g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9、h(x,y,z)=x+y-2z \)。因為h函數的極值會發生在邊界上，所以我們會有\( \nabla h=\alpha \nabla f+ \beta \nabla g\)
可以得到\[ \left\{
  \begin{array}{c}
    \alpha+2\beta x=1 \\
    \alpha+2\beta y=1\\
    \alpha+2\beta z=-2
  \end{array}
\right.\]
三式相加再搭配邊界條件\( x+y+z=3 \)，可得\( 0=3\alpha +2\beta (x+y+z) \)，即\(  \alpha=-2\beta \)，是故
\[ x=\frac{\alpha-1}{\alpha}、y=\frac{\alpha-1}{\alpha}、z=\frac{\alpha+2}{\alpha} \]
代入另一個邊界條件\( x^2+y^2+z^2=9 \)，(計算過程懶得打了)，可得\( \alpha = 1 or -1\)。
當 \( \alpha=1 \) 時\(x=0,y=0,z=3 \)，目標函數有最小值 \( h(0,0,3)=-6 \)。
當 \( \alpha=-1 \) 時\(x=2,y=2,z=-1 \)，目標函數有最大值 \( h(2,2,-1)=6 \)。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-5-28 22:48 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2024-5-28 22:18     標題: 回覆 13# jerryborg123 的帖子

第 3 題
y = 3 - x - z
x^2 + (3 - x - z)^2 + z^2 = 9
x^2 + (z - 3)x + (z^2 - 3z) = 0
(z - 3)^2 - 4(z^2 - 3z) ≧ 0
-1 ≦ z ≦ 3

-6 ≦ x + y - 2z = 3 - 3z ≦ 6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-28 22:19 編輯 ]

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作者: jerryborg123    時間: 2024-5-28 22:30

謝謝兩位老師解惑
我原本的作法是球與平面的的交圓上找z最大、最小值。其中找最小值時計算卡住，我再試試看此法解下去能否成功。(
(更新)
其實計算很簡單，三頂點A(3,0,0) B(0,3,0) C(0,0,3) 重心G(1,1,1)   z最小值出現在P(2,2,-1)    ( G為AP中點  )

[ 本帖最後由 jerryborg123 於 2024-5-28 23:15 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-28 22:55     標題: 回覆 14# swallow7103 的帖子

我是建議考雄聯這種計算題不要用拉格朗日算子
超出高中範圍解法,不知道會不會給分?
而且殺雞焉用牛刀

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作者: swallow7103    時間: 2024-5-28 23:09     標題: 回覆 16# jerryborg123 的帖子

你的做法有點像線性規劃的平行線法，極值會出現在邊界上。
不過在空間裡面，可能要有十足的想像力才有辦法解出了，而且還要想怎麼在答案卷上呈現，
迫於時間壓力不大可能選這條路。

回橢圓大大，我只是想多列幾種方法供大家欣賞，考試時通常時間緊迫，能解出來的都是好方法。
至於會不會給分？真是好問題，我也不知道，哈哈哈...
但是就我寫過的考古題，蠻常出現微積分或線性代數的。

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-28 23:30

引用:

原帖由 jerryborg123 於 2024-5-28 22:30 發表
謝謝兩位老師解惑
我原本的作法是球與平面的的交圓上找z最大、最小值。其中找最小值時計算卡住，我再試試看此法解下去能否成功。(
(更新)
其實計算很簡單，三頂點A(3,0,0) B(0,3,0) C(0,0,3) 重心G(1,1,1)   z最小值出現 ...

若要用交圓方式來做,可以這樣處理:
x+y+z=3 ,x²+y²+z²=9 的交圓方程式為(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=6
由柯西不等式得
[(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²][1²+1²+(-2)²]≧ (x-1+y-1-2z+2)²
6*6≧(x+y-2z)²  ,6≧(x+y-2z)≧-6
(M,m)=(6,-6)

註:這題圓盤(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=6 法向量(1,1,1), 跟平面x+y-2z=k的法向量(1,1,-2) 互相垂直
所以圓盤垂直在平面x+y-2z=k上,否則就不能用這樣去解

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-29 08:50 編輯 ]

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作者: Hawlee    時間: 2024-5-29 13:12     標題: 回覆 8# peter0210 的帖子

可以請問在求x^3k+1係數合那邊的算式，是如何列出來的呢？

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作者: lovejade    時間: 2024-5-29 17:41

想請教一下第8題，謝謝

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作者: Hawlee    時間: 2024-5-29 19:22     標題: 回覆 21# lovejade 的帖子

L2上找一點H，使得向量PH垂直L2的方向向量
利用內積等於0的關係
可以解出以t表示的線段PH平方值，此為正三角形高的平方
再利用正三角形面積是1／√3倍 高的平方
便可以寫出以t表示的正三角形面積

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作者: lovejade    時間: 2024-5-30 10:12     標題: 回覆 22# Hawlee 的帖子

謝謝老師，我寫出來了!

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作者: lovejade    時間: 2024-5-31 16:58

想請教一下第10題的想法，這樣想不知道對不對?

設ΔB1A1O面積=x
然後把sin2θ和cos2θ用x表示
再利用ΔB2A2O面積=120解出x=156

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作者: thepiano    時間: 2024-5-31 19:46     標題: 回覆 24# lovejade 的帖子

應該還有一解 65

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作者: lovejade    時間: 2024-5-31 20:44     標題: 回覆 25# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，我知道我漏掉哪邊了

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作者: swallow7103    時間: 2024-6-2 09:55

第10題 先國中解法算出\( \Delta B_2A_2O \)的底跟高，再用三角函數定義及sin兩倍角求\( \Delta B_1A_1O \)面積。
設\( B_2O=a、A_2O=b \)，由題意可得\( a^2+b^2=676、ab=240 \)，將\( a=\frac{240}{b}\)代入第一式可推得\(b^4-676b^2+240^2=0 \)
即\( (b^2-100)(b^2-576)=0\)，故 b=10 or 24。

設\( \angle B_1A_1O=\theta\)，則\( \angle B_2A_2O=2\theta\)，因\( \Delta B_2A_2O \)的(底,高)可能為(10,24) 及(24,10)，
故\( sin 2\theta=\frac{10}{26} 或 \frac{24}{26} \)。

綜上，因為 \( \Delta B_1A_1O =\frac{1}{2}*B_1O*A_1O =0.5*26cos\theta*26sin\theta=169*sin2\theta\)，故所求面積可能為156或65。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 09:58 編輯 ]

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作者: swallow7103    時間: 2024-6-2 10:18     標題: 回覆 8# peter0210 的帖子

這解法實在漂亮，不過蠻跳的，要花點文字解釋不然很難讀懂，以下提供一個比較直觀的解法。
策略是要列遞迴式，作成轉移矩陣後觀察前幾項應該會發現規律，就可以寫答案了，有時間可以再用數學歸納法證明。
設\( p_n\)為\(S_n\)除以3餘1的機率，\( q_n\)為\(S_n\)除以3餘2的機率，\( r_n\)為\(S_n\)除以3餘0的機率。易知\( p_1=\frac{3}{7}、q_1=\frac{2}{7}、r_1=\frac{2}{7}\)。\[ 設 X_n=\left[\begin{matrix} p_n \\ q_n \\ r_n  \end{matrix}\right]  ，由題意可得X_n=\left[\begin{matrix} p_n \\ q_n \\ r_n  \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{2}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7}  \\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}  \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_{n-1} \\ q_{n-1} \\ r_{n-1}  \end{matrix}\right] ，X_1=\left[\begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right] \]
小心計算後，可得
\[ X_1=\left[\begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right] 、X_2=\left[\begin{matrix} \frac{16}{49} \\ \frac{17}{49} \\ \frac{16}{49} \end{matrix}\right]、X_3=\left[\begin{matrix} \frac{114}{343} \\ \frac{114}{343} \\ \frac{115}{343} \end{matrix}\right]、X_4=\left[\begin{matrix} \frac{801}{2401} \\ \frac{800}{2401} \\ \frac{800}{2401} \end{matrix}\right] 、X_5=\left[\begin{matrix} \frac{5602}{16807} \\ \frac{5603}{16807} \\ \frac{5602}{16807} \end{matrix}\right]\]
應該可以發現規律，\( X_n \)的三個元幾乎是平均的，且當\( n=1,4,7...\) 時 \( p_n的分子是\frac{7^n+2}{3}\) ，當\( n=2,3,5,6,8,9...\) 時 \( p_n的分子是\frac{7^n-1}{3}\)。因此，
\[ p_n = \begin{cases}
\frac{7^n+2}{3*7^n} , 當 n =1,4,7,10,... \\
\frac{7^n-1}{3*7^n} ,  當 n =2,3,5,6,8,9 ...
\end{cases}\]

後記：這題也可以由對角化的或是eigenvalues(特徵值)求一般項，但計算量頗大，eigenvalues還有複數，勇者可嘗試看看。考試時遇到類似題但沒有想法，建議還是先觀察前幾項，不要直接暴力解。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 10:44 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2024-6-8 18:15     標題: 回覆 20# Hawlee 的帖子

填充16. 8# 的作法，有兩部分，一部分是機率和多項式係數的對應。
(我想，你問的應該都不是這個)

另一部分是係數和的部分，這部分大家比較熟悉的是：對任意多項式 \( f(x) \)，
\( f(1) \) 是各項係數和、\( \frac{f(1)+f(-1)}{2} \) 是偶數次方項(含常數項)的係數和、\( \frac{f(1)-f(-1)}{2} \) 是奇數次方項係數和。

再來則是 \( f(i) \) 的實部、虛部，會是每隔兩項的係數正負(加減)交錯的和。
跟偶數項係數和、奇數項係數和再組合起來就會得隔四項的係數和。
把取實數、虛部的部分用共軛複數的加減表示，可以得到
\( \frac{f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4} \) 為常數項、\( x^{4}, x^{8}, x^{12},\ldots \) 的係數和。
而從 \( x \) 或 \( x^2 \) 或 \( x^3 \) 開始的每 4 項的係數和也有類似的表示。

把上面的經驗，移到隔三項的情況，不難發現
令 \( \omega=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)
則有 \( \frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^{2})}{3} \) 為常數項、\( x^3, x^6, x^9, \ldots \) 的係數和

再來只要取 \( g(x) = x^2f(x) \)，對 \( g(x) \) 這個多項式使用上面的公式，就會得到 #8 的列式。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-6-16 19:42 編輯 ]

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作者: Hawlee    時間: 2024-6-16 18:16

謝謝燕子老師與寸絲老師

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