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標題: 113中崙高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2024-5-22 17:39 標題: 113中崙高中

　

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作者: bugmens 時間: 2024-5-22 17:39

8.
如圖，\(\Delta ABC\)為直角三角形，其中\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}=36\)，而\(\overline{BC}\)上的中線為：\(x+2y=0\)，\(\overline{AC}\)上的中線為：\(x+y=0\)，求\(\Delta ABC\)的面積。

令三角形\(ABC\)為在\(xy\)平面上的直角三角形，其中\(\angle C\)為直角。給定斜邊\(AB\)的長度為60，且穿過\(A\)與\(B\)的中線分別為\(y=x+3\)與\(y=2x+4\)，試求三角形\(ABC\)的面積。
(102年度第2學期中山大學雙週一題，https://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2ans.pdf)

9.
已知\(\displaystyle a_0=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle a_n=(\frac{1+a_{n-1}}{2})^{\frac{1}{2}}\)，\(\forall n\in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n \cdot (1-a_n)\)。

設\(\cases{\displaystyle a_0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cr a_n=\left(\frac{1+a_{n-1}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n(1-a_n)\)的值為　　　。
(111竹北高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3629&page=1#pid23927)

12.
設\(f(x)\)為一實值函數，且滿足\(\displaystyle f(x)-2f(\frac{1}{x})-\frac{3}{x}=0\)，求\([f(x)]^2\)的最小值。

函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{1+x+x^2}{x}\)，試求\(\displaystyle \sum_{k=2}^{100}f(k)=\)？
(101台南二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5275)

作者: peter0210 時間: 2024-5-22 20:49

填充2

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作者: lulu172839 時間: 2024-6-11 22:51

想請問4、5、7

作者: thepiano 時間: 2024-6-12 08:35 標題: 回覆 4# lulu172839 的帖子

第 5 題
z = a + (√3/3 + b)i，w = -a + (√3/3 - b)i，a 和 b 為實數
z^2 + w^2 = (2a^2 - 2b^2 - 2/3) + 4abi = (2√3/3)i

a^2 - b^2 = 1/3
b = √3/(6a)

可解出 a^2 = 1/2
|a| = √2/2

作者: thepiano 時間: 2024-6-12 09:25 標題: 回覆 4# lulu172839 的帖子

第 7 題
A 關於 x 軸的對稱點 A'(-3，-3)
直線 A'P 與 A'Q 與圓 C：(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 - k 相切

直線 A'P：mx - y + 3m - 3 = 0，直線 A'Q：y = nx - y + 3n - 3 = 0，其中 n > m > 0
P(3/m - 3，0)、Q(3/n - 3，0)
PQ = 3/m - 3/n = 7/4

C(2，2) 到直線 A'P 與 A'Q 的距離相等
|5m - 5|/√(m^2 + 1) = |5n - 5|/√(n^2 + 1)
(m - 1)^2/(m^2 + 1) = (n - 1)^2/(n^2 + 1)
mn = 1

3/m - 3/n = 7/4
mn = 1
可解出 m = 3/4，n = 4/3

8 - k = (5m - 5)^2/(m^2 + 1) = 1
k = 7

作者: thepiano 時間: 2024-6-12 12:55 標題: 回覆 4# lulu172839 的帖子

第 4 題
x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0
x^2 + y^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
1 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
2x(y - 1) + (y - 1)^2 = 0
(y - 1)(2x + y - 1) = 0
y = 1 or y = 1 - 2x

(1) y = 1，x = 0
(2) y = 1 - 2x，x^2 + (1 - 2x)^2 = 1
x = 4/5，y = -3/5

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-6-12 12:57 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-6-12 20:27

想請教一下填充10 謝謝

作者: Ellipse 時間: 2024-6-12 20:46

引用:

原帖由 zj0209 於 2024-6-12 20:27 發表
想請教一下填充10 謝謝

#10
(題目要先講α,β為相異兩根,且為不同象限角)
3sin(2α)+4cos(2α)=1
sin(2α+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
同理sin(2β+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
所以(2α+θ)+(2β+θ)=π+2kπ(k∈ℤ)
所求
=sin(2α+2β)=sin(π+2kπ-2θ)
=sin(2θ)=2sinθ*cosθ=2*(4/5)*(3/5)=24/25

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-6-12 21:43 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-6-13 12:15

謝謝橢圓老師

作者: Ellipse 時間: 2024-6-13 13:21

引用:

原帖由 zj0209 於 2024-6-13 12:15 發表
謝謝橢圓老師

不客氣,這題題意不清楚,應該要送分

作者: chu 時間: 2024-6-13 21:20 標題: 第7題

這樣比較好算一點

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作者: chu 時間: 2024-6-13 21:22 標題: 第10題

僅供參考

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作者: Ellipse 時間: 2024-6-14 08:43

引用:

原帖由 chu 於 2024-6-13 21:22 發表
僅供參考7151

#10
Chu老師用的根與係數方法
還是把α,β視為相異兩根,且為不同象限角
不然此題就不能只有這樣解了

作者: aizin 時間: 2024-6-14 10:11

想請教填充11，謝謝各位老師們。

作者: thepiano 時間: 2024-6-14 11:34 標題: 回覆 15# aizin 的帖子

第 11 題
1 天吃完：1 種情形
2 天吃完：H(2，5) = 6 種情形
3 天吃完：H(3，4) = 15 種情形
4 天吃完：H(4，3) = 20 種情形
5 天吃完：H(5，2) = 15 種情形
6 天吃完：H(6，1) = 6 種情形
7 天吃完：1 種情形
以上共 64 種情形

所求 = (1 * 1 + 2 * 6 + 3 * 15 + 4 * 20 + 5 * 15 + 6 * 6 + 7 * 1)/64 = 4

作者: aizin 時間: 2024-6-14 13:06

謝謝鋼琴老師

作者: Superconan 時間: 2024-8-20 10:34

請教填充第 3 題

作者: weiye 時間: 2024-8-20 11:27 標題: 回覆 18# Superconan 的帖子

第3題：

已知 \(x, y\) 均為非負整數。若方程式 \(3x+2y=n\) 恰有 \(24\) 組解，則所有 \(n\) 的可能值的總和為________。

解：

因為方程式 \(3x+2y=n\) 有一組顯然的特殊解 \((x,y) = (n, -n)\)，

所以有通解 \((x,y) = (n - 2t, -n + 3t)\)，其中 \(t\) 為整數。

又 \(x, y\) 均為非負整數，

所以 \(n - 2t\geq 0\) 且 \(-n + 3t \geq 0\)，

得 \(\displaystyle \frac{n}{3}\leq t \leq \frac{n}{2}\) 。

因此區間 \(\displaystyle [\frac{n}{3},\frac{n}{2}]\)須包含 \(24\) 個整數 \(t\)，

（由於區間長度 \(\displaystyle \frac{n}{2}-\frac{n}{3}= \frac{n}{6}\) ，

　所以心中想著大概是 \(23\leq\frac{n}{6}<25\)，

　不過邊界的 \(n\) 要小心逐一檢查比較安心！）

得 \(n = 138, 140, 141, 142, 143, 145\)。

所有 \(n\) 的可能值的總和為 \(138+140+141+142+143+145 = 849\)。

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