標題: 104高師大數學系考題詢問 [打印本頁]

---

作者: mathchen    時間: 2024-5-21 11:16     標題: 104高師大數學系考題詢問

各位老師好，想詢問以下題目。
題目出處為「104年高師大數學系大學甄選入學試題」的第一題，請各位老師賜教。

在銳角\(\Delta ABC\)中，\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)分別為三邊\(BC\)、\(AC\)、\(AB\)上的高。設\(\Delta ABC\)的內切圓、外接圓分別為\(r\)、\(R\)，\(\Delta EDF\)與\(\Delta ABC\)的周長分別為\(l_1\)、\(l_2\)。求證：\(\displaystyle \frac{l_1}{l_2}=\frac{r}{R}\)。
113.10.28補充
歷屆試題https://sites.google.com/mail.nk ... /%E9%A6%96%E9%A0%81

附件: 104高師大數學系大學甄選入學.pdf (2024-10-28 11:02, 85.12 KB) / 該附件被下載次數 342
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7103&k=2558b017f10d2174f073ee71caf2015b&t=1732270263

---

作者: thepiano    時間: 2024-5-21 13:24     標題: 回覆 1# mathchen 的帖子

1.
在銳角\(\Delta ABC\)中，\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)分別為三邊\(BC\)、\(AC\)、\(AB\)上的高。設\(\Delta ABC\)的內切圓、外接圓分別為\(r\)、\(R\)，\(\Delta EDF\)與\(\Delta ABC\)的周長分別為\(l_1\)、\(l_2\)。求證：\(\displaystyle \frac{l_1}{l_2}=\frac{r}{R}\)。
[解答]
A、B、D、E 四點共圓
∠CDE = ∠CAB
△CDE 和 △CAB 相似
DE/EC = AB/BC
DE = AB * (EC/BC) = ABcosC
同理 EF = BCcosA，FD = CAcosB

設 △ABC 外心 O
作 OX 垂直 BC 於 X，OY 垂直 CA 於 Y，OZ 垂直 AB 於 Z
△ABC = (1/2)(BC * OX + CA * OY + AB * OZ)
= (1/2)(BC * RcosA + CA * RcosB + AB * RcosC)
= (R/2)(BC * cosA + CA * cosB + AB * cosC)
= (R/2)(EF + FD + DE)
= (R/2)l_1

又 △ABC = (r/2)l_2

(R/2)l_1 = (r/2)l_2

l_1/l_2 = r/R

---

作者: mathchen    時間: 2024-5-21 14:20     標題: 回覆 2# thepiano 的帖子

我看懂了，謝謝鋼琴老師!!

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0