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標題: 113南港高工 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2024-5-7 18:34 標題: 113南港高工

　

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作者: bugmens 時間: 2024-5-7 18:34

一、填充題
1.
若整數\(n\)可使\(\displaystyle \frac{n^3+2024}{n+11}\)亦為整數，則\(n\)的最大值為　　　。

求最大的整數\(n\)使得\(\displaystyle \frac{n^3+108}{n+11}\)也是整數，\(n=\)　　　。
(108麗山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=5#pid19741)

2.
平面上，在一個正方形內部(含邊界)放入6個邊長為1的正三角形，使得這6個正三角形的內部區域彼此互不重疊，則此正方形的邊長最小值為　　　。

\(\displaystyle s=\frac{9}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=1.901+\)
Found by Erich Friedman in 1996.
https://erich-friedman.github.io/packing/triinsqu/

6.
設二次函數\(y=x^2-6x+5\)的圖形交\(x\)軸於\(A\)、\(B\)兩點，\(P\)是直線\(x+y=−4\)上的動點。當\(\angle APB\)有最大值時，\(\Delta ABP\)的外心坐標為　　　。
[解答]
在l：\( x+y-5=0 \)上找一點\( P(x,y) \)，使得點\( P(x,y) \)對\( A(1,0) \)，\( B(3,0) \)的夾角\( ∠APB為最大時 \)，P點坐標為何？(其中\( P \in \)第一象限)
(99中壢高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2442)

最大視角相關題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=978&page=1#pid2307

設\(A(1,0),B(5,0),C(-4,0)\)
當過\(A,B\)兩點且和\(x+y=-4\)相切於\(P\)點的圓時，\(\angle APB\)有最大值(最大視角)
圓冪定理可知\(\overline{CP}^2=\overline{CA}\cdot \overline{CB}=5\times 9\)，\(\overline{CP}=3\sqrt{5}\)，\(\displaystyle P(-4+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}},-\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\)
過\(P\)點且和\(x+y=-4\)垂直的直線方程式為\(\displaystyle x-y=-4+\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)
\(\Delta ABP\)的外心坐標為\(\cases{\displaystyle x=3 \cr x-y=-4+\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}\)的交點\(O(3,7-3\sqrt{10})\)

二、計算、證明與論述題
3.
在數學「直線與圓」單元中提到，坐標平面上一點\(P(m,n)\)到直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)的距離\(\displaystyle d(P,L)=\left|\frac{am+bn+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|\)。請回答下列問題：
(1)請以高職一年級學生的先備知識為基礎證明上式。
(2)現有一道問題「求平面上一點\(P(1,2)\)到直線\(L\)：\(x+y=-3\)的距離。」除了使用「點到直線的距離」公式之外，請你另寫出2種給高職二年級學生的解答。
點到直線的13種證明方法https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183

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作者: kobelian 時間: 2024-5-7 18:40 標題: 回覆 1# bugmens 的帖子

請問老師5，6，7，8

作者: cut6997 時間: 2024-5-7 20:49

5.估計題目印刷錯誤...不然最小值應該是0，該答案為等於3的情形
最大值柯西: (x^2+y^2)(5^2+4^2)>=(5x+4y)^2

7.首尾獨立機率10/14,中間四項(10/14)^2
=>2*(10/14)+4*(10/14)^2

作者: Ellipse 時間: 2024-5-8 23:11

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-5-7 18:40 發表
請問老師5，6，7，8

#8
"高工"男生比女生多?
假設全校男生x人,女生y人 (x>y)
則C(x,2) / C(x+y,2)=1/2
x(x-1)/[(x+y)(x+y-1)] =1/2
整理得x² +(-2y-1)x+(y-y²)=0
x=[(2y+1)+√(8y²+1)]/2 --------------(*1)
( x=[(2y+1)-√(8y²+1)]/2 不合)
令k=√(8y²+1) , k²-8y²=1--------(*2)
由Pell's equation知,kn的通解為[(3+√8)^n+(3-√8)^n]/2
所以(k1,y1)=(3, 1) ,(k2,y2)=(17, 6) ,(k3,y3)=(99,35) ,(k4,y4)=(577,204),(k5,y5)=(3363,1189).....代入(*1)
因為100≦ x=[(2y+1)+k]/2 ≦1000 ,僅(k4,y4)=(577,204)此組符合
所求x=(2*204+1+577)/2=493

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-8 23:13 編輯 ]

作者: aizin 時間: 2024-5-12 21:52 標題: 回覆 4# cut6997 的帖子

想請問＃7. 為什麼只有首尾獨立機率10/14,中間四項(10/14)^2 =>2*(10/14)+4*(10/14)^2，沒有其他可能呢？謝謝你

作者: idsharon 時間: 2024-5-15 18:40

想請問計算第二題的第二小題

作者: thepiano 時間: 2024-5-15 19:49 標題: 回覆 7# idsharon 的帖子

計算第 2 題 (2)
橫軸 a 軸，縱軸 b 軸
畫出 a >= b > 0，ab = 2 的圖形
位於直線 a = b 的右下方
直線 5a + 4b = k 的斜率 = -5/4 > -1，畫圖可知當它與 ab = 2、a = b 交於點 (√2，√2) 時
5a + 4b 有最小值 9√2

當 b 趨近於 0，a 趨近於無限大
所以取不到最大值

作者: idsharon 時間: 2024-5-15 21:25 標題: 回覆 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，另外想詢問，為什麼此題不能用算幾不等式計算呢？

作者: thepiano 時間: 2024-5-15 22:19 標題: 回覆 9# idsharon 的帖子

用算幾的話，等號成立於 5a = 4b
此時 a = (4/5)b < b，與題意 a ≧ b 不合

作者: idsharon 時間: 2024-5-16 07:55 標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴老師解惑

作者: ruee29 時間: 2024-7-27 16:12

整理了南港高工解答供參

附件: 113南港高工解答p.1.pdf (2024-7-27 16:12, 934.53 KB) / 該附件被下載次數 153
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附件: 113南港高工解答p.2.pdf (2024-7-27 16:12, 1.11 MB) / 該附件被下載次數 163
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