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標題: 113中科實中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2024-5-5 19:37 標題: 113中科實中

　

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作者: bugmens 時間: 2024-5-5 19:37

4.
求值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{25}\left(\frac{1}{1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+\ldots+n(n+1)}\right)=\)　　　。
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

14.
在立方體的展開圖裡，有多少個　　　不同形狀(不能相疊重合)。
https://www.learnmode.net/flip/video/13821

16.
平面上有8個圓，其中每兩個圓相交且任三個圓不通過同一點，這8個圓將平面分成幾部分　　　。
圓：\(2+2C_{2}^{n}={{n}^{2}}-n+2\)https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2506&page=1#pid15390
相關題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597

作者: Gary 時間: 2024-6-1 22:56 標題: 請教第一題

應該如何做比較有效率的解題，我只想的到一個個列，感謝大家

作者: tsusy 時間: 2024-6-14 23:03 標題: 回覆 3# Gary 的帖子

填充1.
若\(\triangle ABC\)三邊長均為整數，且各邊邊長均不大於100，則有　　　個不全等的三角形。
[解答]
分成兩步

將三邊長寫作 \( a, b, c \)
第一步，先不管三角不等式，先只考慮 \( a, b, c \) 的組合數，
可以分三異、恰兩同、三同，得組合數為 \(\displaystyle \frac{100\cdot99\cdot98}{6}+100\cdot99+100=171700 \)

第二步，把剛才組合中，不構成三角形的扣除。
不失一般性假設 \( a \le b \le c \)，令 \( n = a+b \)
當 \( n \le c \le 100 \) 時，\( a, b, c \) 無法構成一個三角形

而 \( a+b =n \) 的組合數為 \(\displaystyle \left[\frac{n}{2}\right] \)
故 \( a, b, c \) 的組合中，不構成三角形的有 \( (1\cdot99+1\cdot98+2\cdot97+2\cdot96+\cdots+49\cdot3+49\cdot2)+50\cdot1 \)
上式的 99 項分別是 \( n=2,3,...,100 \) 時的組合數，每項相乘的兩數，前者為 \( a+b =n \) 的組合數，後者是滿足 \( n \le c \le 100 \), \( c \) 的個數。

故所求 \( \displaystyle = 171700 - \sum\limits _{k=1}^{49}k(201-4k) -50 = 87125 \)

作者: ruee29 時間: 2024-7-25 16:17

整理了中科實中填充題解答不確定有沒有寫錯供參~
謝謝chu老師的補充~

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作者: chu 時間: 2024-8-8 23:11 標題: 計算1

設二階方陣\(A=\left[\matrix{\displaystyle \frac{4}{3}&1\cr -\frac{2}{3}&-1}\right]\)且\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，
(1)設\(k\in R\)，且矩陣\(A\)滿足\(A(A-I_2)=k(A-I_2)\)，試求\(k\)值。
(2)設\(n\)為自然數，利用(1)的結果，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}A^n\)。
[解答]
把它補完吧!

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作者: chu 時間: 2024-8-8 23:12 標題: 計算2

試求曲線\((x-y)^2=\sqrt{2}(x+y)\)被直線\(x+y=4\sqrt{2}\)截出區域的面積。
[解答]

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