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標題: 113臺南二中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2024-4-27 19:04     標題: 113臺南二中

想請問 老師  9  10  12

附件: 113臺南二中.pdf (2025-4-2 11:33, 325.55 KB) / 該附件被下載次數 2005
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7021&k=37a838e009ecebea63a5982a6b5760b9&t=1744203323
作者: bugmens    時間: 2024-4-27 19:19

6.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{1}+\sqrt{8}+\sqrt{27}+\ldots+\sqrt{n^3})^2}{n^5}=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

9.
設\(x\)為實數，則\(\sqrt{x^4-4x^2-12x+25}+\sqrt{x^4+2x^2+1}\)的最小值為　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

二、計算證明題
1.
設\(n\)是正整數，\(A=\left[\matrix{-1&4&2\cr-1&3&1\cr-1&2&2}\right]\)，試計算\(A^n\)。
我的教甄準備之路　矩陣n次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

2.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(a,b,c\)，面積記為\(\Delta\)，試證明：\(\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta}\ge 4\sqrt{3}\)。
(1961IMO，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_2)

4.
設\(\Delta ABC\)外接圓的半徑為\(R\)；內切圓的半徑為\(r\)；外新為\(O\)；內心為\(I\)，試證：\(\overline{OI}^2=R^2-2Rr\)。
連結有解答https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122768
作者: thepiano    時間: 2024-4-27 20:28     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

第 12 題
在\(\triangle ABC\)中，已知\(\displaystyle \frac{a+b}{a}=\frac{sinB}{sinB-sinA}\)，且\(cos(A-B)+cosC=1-cos2C\)，則\(\displaystyle \frac{a+c}{b}=\)　　　。
[解答]
(a + b) / a = sinB / (sinB - sinA) = b / (b - a)
ab = b^2 - a^2

cos(A - B) + cosC = 1 - cos2C
cos(A - B) - cos(A + B) = 2(sinC)^2
sinAsinB = (sinC)^2
ab = c^2

利用 ab = b^2 - a^2 ，把 a 用 b 表示
再利用 ab = c^2 ，也可把 c 用 b 表示
最後可求出答案
作者: Danny920    時間: 2024-4-27 21:13

9.
設\(x\)為實數，則\(\sqrt{x^4-4x^2-12x+25}+\sqrt{x^4+2x^2+1}\)的最小值為　　　。
[解答]
原式 =  [ (2x-3)^2 +(x^2-4)^2 ]^1/2   +  [ (2x-0)^2 + (x^2-1)^2 ] ^1/2

令 A在 拋物線y = x^2/4 上，B(3,4)，C(0,1)  ， L： y = -1

所求 = AB +AC = AB+ d(A,L) = d(B,L) = 4 - (-1) = 5
作者: Dragonup    時間: 2024-4-27 22:58     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

#10
在平面\(\pi\)上有一直角三角形，其中\(\angle BCD=90^{\circ}\)，\(\angle CBD=30^{\circ}\)，另一個等腰直角\(\triangle ABC\)所在的平面垂直於平面\(\pi\)，其中\(\angle BAC=90^{\circ}\)，若\(\overline{CD}=4\)，求\(\overline{AD}\)與\(\overline{BC}\)間的距離為　　　。
[解答]
作者: zj0209    時間: 2024-4-28 21:54

想請教一下 填充11 與 計算3  謝謝
作者: weiliu0417    時間: 2024-4-29 08:55     標題: 回覆 6# zj0209 的帖子

11.
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}3^{k-1}\cdot 2^{9-k}\cdot k^2C_k^{10}=\)　　　。
[解答]
提出 \(\displaystyle \frac{5^{10}}{6}\)
後面\(\sum\)可以看成是X~B(10,0.6)求\(E(X^2)\)
作者: kobelian    時間: 2024-4-30 08:17     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

請問老師 第三題 幾何的作法
作者: Ellipse    時間: 2024-4-30 14:28

引用:
原帖由 kobelian 於 2024-4-30 08:17 發表
請問老師 第三題 幾一一何的作法
有試過，除了答案1比較好猜，其他答案畫圖沒那麼明顯看得出來
作者: Dragonup    時間: 2024-4-30 17:25     標題: 回覆 6# zj0209 的帖子

計算三：
以\(O\)為原點的\(xy\)平面上，取二點\(A(\sqrt{3},1)\)，\(B(-1,\sqrt{3})\)，\(t\in R\)，點\(P\)滿足\(\vec{OP}=t^2\vec{OA}+t\vec{OB}\)，求\(P\)點的軌跡與\(x\)軸所圍成的圖形的面積。
[解答]
作者: g112    時間: 2024-4-30 21:35

想請問填充1和3 謝謝
作者: Ellipse    時間: 2024-4-30 22:00

引用:
原帖由 g112 於 2024-4-30 21:35 發表
想請問填充1和3 謝謝
#1
已知\(\triangle ABC\)之重心、內心分別為\(G\)、\(I\)，且\(\overline{BC}=42\)，\(\overline{AB}>\overline{AC}\)。若\(\overline{GI}=2\)且\(\overline{GI}// \overline{BC}\)，\(\vec{AI}=x\vec{AB}+y\vec{AC}\)，求數對\((x,y)=\)　　　。
[解答]
向量AI=向量AG+向量GI
=(1/3)*(向量AB)+(1/3)*(向量AC)+(1/21)*(向量BC)
=(2/7)*(向量AB)+(8/21)*(向量AC)
所求(x,y)=(2/7,8/21)

#3
在複數平面上，複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)且\(\displaystyle |\;-1+\sqrt{3}i-z|\;=\Bigg\vert\;\frac{(-1+\sqrt{3}i)^2}{2}-\overline{z^3}\Bigg\vert\;\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。若\(Arg(z)\le Arg(-1+\sqrt{3}i)\)，則複數\(z=\)　　　。
[解答]
令 z=cosθ+i*sinθ代入等式
解出
(1)sinθ=0 .θ=0°
    z=cos0°+i*sin0°=1
(2)tan(2θ)= -√3  ,2θ=120°  ,θ=60°
     z=cos60°+i*sin60°=1/2+ (√3)i/2
作者: optimal0204    時間: 2024-4-30 22:44

想請問填充7跟8，謝謝各位老師
作者: Ellipse    時間: 2024-4-30 23:15

引用:
原帖由 optimal0204 於 2024-4-30 22:44 發表
想請問填充7跟8，謝謝各位老師
#7
投擲一個六面分別刻上\(1,1,1,2,2,3\)的公正骰子\(n\)次，則點數和為偶數的機率為　　　
[解答]
假設a_n表示投擲骰子n次,點數和為偶數的機率
則a_1=1/3
a_n=(1/3)*a_(n-1)+(2/3)*[1-a_(n-1)]
(∀n≧2 ,n∈ℕ)
解出a_n=1/2+(-1/6)*(-1/3)^(n-1)
             =1/2+(1/2)*(-1/3)^n
             (∀n≧1 ,n∈ℕ)
#8
以\(x^3+2x^2+2x+1\)除\(x^{2024}-2x^{427}+3x^{113}-4x\)所得的餘式為　　　。
[解答]
f(-1)=1+2-3+4=4--------------(1)
且f(x)≡x²-2x+3x²-4x≡4x²-6x [ mod (x^3-1)]
假設f(x)=(x^3-1)Q1(x)+4x²-6x
            =(x²+x+1)[(x-1)*Q1(x)+4]+(-10x-4)
            =(x²+x+1)*Q2(x)+(-10x-4)
            =(x²+x+1)(x+1)*Q3(x)+r(x²+x+1)+(-10x-4)------------(2)
由(1)&(2)得f(-1)=r+6=4, r= -2
所求餘式= -2(x²+x+1)+(-10x-4)= -2x²-12x-6
作者: optimal0204    時間: 2024-4-30 23:43     標題: 回覆 12# Ellipse 的帖子

想請問橢圓老師，令z=cosθ+i*sinθ代入等式，等號右邊的z^3 bar 該如何處理呢
是把它變成cos3θ-i*sin3θ嗎?
作者: Ellipse    時間: 2024-4-30 23:45

引用:
原帖由 optimal0204 於 2024-4-30 23:43 發表
想請問橢圓老師，令z=cosθ+i*sinθ代入等式，等號右邊的z^3 bar 該如何處理呢
是把它變成cos3θ-i*sin3θ嗎?
對喔~後面再繼續化簡
作者: optimal0204    時間: 2024-4-30 23:46     標題: 回覆 16# Ellipse 的帖子

好的，謝謝橢圓老師~我再試看看
作者: optimal0204    時間: 2024-5-1 00:16     標題: 回覆 14# Ellipse 的帖子

謝謝橢圓老師!!!
作者: g112    時間: 2024-5-1 09:44     標題: 回覆 12# Ellipse 的帖子

懂了,謝謝橢圓老師
作者: mathchen    時間: 2024-5-14 09:11

各位老師好，想請問填充2的最小值部分(最大值的部分我用柯西寫出根號6+根號82)
作者: Dragonup    時間: 2024-5-14 11:12     標題: 回覆 20# mathchen 的帖子

填充2.
已知\(x,y\ge 1\)且\((log_2x)^2+(log_2y)^2=log_2(4x^4)+log_2(8x^8)\)，若\(log_2(xy)\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，求\(M+m=\)　　　。
[解答]
令 \(u=\log_2{x}\) , \(v=\log_2{y}\) , 其中 \(u,v \geq 0 \) ，代換原方程，
原命題即在 \((u-6)^2+v^2=41\) 的條件下，求 \(u+v\) 的最值，
由線性規劃，最大值\(M=6+\sqrt{82}\)在切點處取到，最小值\(m=\sqrt{5}\)在\((0,\sqrt{5})\)取到，
因此 \(M+m=6+\sqrt{5}+\sqrt{82}\)
作者: mathchen    時間: 2024-5-14 11:18     標題: 回覆 21# Dragonup 的帖子

了解! 謝謝老師!!
作者: mathchen    時間: 2024-5-14 15:30     標題: 回覆 10# Dragonup 的帖子

老師您好，我想詢問最後一行的列式是怎麼得到的呢?
作者: ruee29    時間: 2024-5-19 22:37

整理了113南二中解答 供參

附件: 113南二中.pdf (2024-5-19 22:37, 1.57 MB) / 該附件被下載次數 834
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7102&k=6fcb1b2f63b2a96a4d1ba6b839720497&t=1744203323



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