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標題: 113彰化高中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2024-4-25 11:24 標題: 113彰化高中

想請問老師 5 6 9

附件: 113年彰化高中試題解答.pdf (2024-4-25 11:24, 337.85 KB) / 該附件被下載次數 1628
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7007&k=4f5cf4baea6e7893551210935de7e2e4&t=1732291634

附件: 113年彰化高中試題.pdf (2024-4-25 11:24, 376.62 KB) / 該附件被下載次數 1783
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7008&k=ef667bb1fc432f10db9d56be599730b8&t=1732291634

作者: bugmens 時間: 2024-4-25 11:50

3.
數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_{n-1}=a_n+a_{n-2}\)，\(n\ge 3\)，設此數列前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(s_{2023}=2024\)，\(S_{2024}=2023\)，則\(S_{2025}=\)？

8.
設虛數\(z\)滿足\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)？
(110桃園高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3512&page=1#pid22742)

10.
四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{10}\)，\(\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{BD}=\sqrt{7}\)，求此四面體的體積？

空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=7#pid5431)

作者: zj0209 時間: 2024-4-25 20:53

請教一下第7題第12題謝謝

作者: thepiano 時間: 2024-4-25 22:30 標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

第 6 題
外心 O、重心 G、垂心 H
HG = 2OG

以下向量符號省略
|OA + OB + OC| = |OG + GA + OG + GB + OG + GC| = 3|OG| = √3
|HA + HB + HC| = |HG + GA + HG + GB + HG + GC| = 3|HG| = 6|OG| = 2√3

第 9 題
先猜 a = b = c，第二式不合
再猜 a + b = c = 16，合
√a、√b、√c 是直角三角形之三邊長
面積 = (1/2)√(ab) ≦ (1/2)(1/2)(a + b) = 4

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-25 23:19 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2024-4-25 22:39

引用:

原帖由 zj0209 於 2024-4-25 20:53 發表
請教一下第7題第12題謝謝

#7
設A^3+3A²+A-2=0 的三根為x², -y² ,1/z²
(原想法有誤,恕刪)
後面解法請參考15樓Hawlee老師說明
彰中給錯答案了,請參考21樓
用Mathematica軟體檢驗說明

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-27 00:25 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 00:19

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-4-25 11:24 發表
想請問老師 5 6 9

#5
原式=> (以下z~表示z的bar)
12z*(z~)=2(z+2)(z~+2)+(z²+1)[(z~)²+1]+31
整理得[z+(z~)+2]²+[z*(z~)-6]²=0
z+6/z = z+z~ = -2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 00:33 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-26 05:50

我理解了謝謝Ellipse老師

作者: thepiano 時間: 2024-4-26 08:20 標題: 回覆 3# zj0209 的帖子

第 12 題
sinθ = a ＞ 0
cosθ = b ＞ 0
sinψ = c ＞ 0
cosψ = d ＞ 0
a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1

原題改為 a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022 = 1，求 a^2023 - d^2023

(a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022)(d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020) ≧ (a^2 + b^2)^2 = 1
等號成立於 (a/d)^2024) = (b/c)^2024，ac = bd，θ + ψ = π/2
此時 d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020 = 1

所求 = (sinθ)^2023 - (cosψ)^2023 = 0

作者: std310185 時間: 2024-4-26 09:22

版上老師好，小弟想問一下13，感謝感謝

感謝E大老師提醒，不好意思漏看5 ><!!

[ 本帖最後由 std310185 於 2024-4-26 10:26 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-26 10:12

謝謝鋼琴老師

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 10:25

引用:

原帖由 std310185 於 2024-4-26 09:22 發表

版上老師好，小弟想問一下5跟13，感謝感謝

#5上面已答

#13
利用題目數據
可令f(c)=abc=c^3-5c^2+7c
f '(c)=3c^2-10c+7
當f '(c)=0,c=1或7/3
[且由柯西不等式得(a^2+b^2)(1+1)>=(a+b)^2
2(11-c^ 2)>=(5-c)^2,
3c^2-10c+3<=0,1/3<=c<=3 ]
又f(1/3)=(1/3)^3-5(1/3)^2+7*(1/3)=49/27
f(1)=1-5+7=3
f(7/3)=(7/3)^3-5(7/3)^2+7*(7/3)=49/27
f(3)=27-45+21=3
所求=M+m=3+49/27=130/27

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 13:28 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2024-4-26 12:40 標題: 回覆 9# std310185 的帖子

第 13 題
a + b + c = 5
b + c = 5 - a

ab + bc + ca = a(5 - a) + bc = 7
a^2 - 5a + 7 = bc ≦ [(b + c)/2]^2 = [(5 - a)/2]^2
1/3 ≦ a ≦ 3

abc = a(a^2 - 5a + 7) = a^3 - 5a^2 + 7a
f(a) = a^3 - 5a^2 + 7a
f'(a) = 3a^2 - 10a + 7 = (a - 1)(3a - 7) = 0
a = 1 or 7/3

f(1) = 3，f(7/3) = 49/27
f(3) = 3，f(1/3) = 49/27

M + m = 3 + 49/27 = 130/27

作者: std310185 時間: 2024-4-26 13:00

感謝鋼琴老師回答，我小菜雞一枚
想問說老師您中間有用到算幾 -- bc <= [(b+c)/2]^2
但題目沒提到說b c為非負實數，這樣沒關係嗎@@?!
再次感謝鋼琴老師!

作者: thepiano 時間: 2024-4-26 13:17 標題: 回覆 13# std310185 的帖子

別這樣說，有疑問是好事，錯了就修正

[(b + c)/2]^2 - bc
= (b^2 + 2bc + c^2)/4 - bc
= (b - c)^2/4
≧ 0

作者: Hawlee 時間: 2024-4-26 14:16

想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那裡思路有誤?

作者: farmer 時間: 2024-4-26 20:12

答案有誤

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

作者: Hawlee 時間: 2024-4-26 21:18

謝謝老師
另外想再請問計算一

作者: Dragonup 時間: 2024-4-26 22:21 標題: 回覆 17# Hawlee 的帖子

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 22:36

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 22:55 編輯 ]

作者: Hawlee 時間: 2024-4-26 22:59 標題: 回覆 18# Dragonup 的帖子

喔喔看懂了，謝謝

另外還想再請問填充15，17，謝謝

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-27 02:26 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 23:16

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

您寫得沒有錯,出題者可能想用構造法來解
忽略了正負根重根的問題
出這種題目要很小心,它總共有216組解 (包含實數,複數解)
其中實數解有16組,全部經由Mathematica檢驗所求答案為7-√5或(9-√5)/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-27 00:23 編輯 ]

圖片附件: 1714148425447.jpg (2024-4-27 00:23, 362.28 KB) / 該附件被下載次數 342
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作者: zidanesquall 時間: 2024-4-27 02:12 標題: 回覆 4# thepiano 的帖子

想請問鋼琴老師，#9為什麼可以這樣子猜？會不會有其他不是這樣的解？

原本看完式子想用海龍去解，但是...卡關了

作者: thepiano 時間: 2024-4-27 06:23 標題: 回覆 22# zidanesquall 的帖子

有三個未知數，但只有兩個等式，面積是不定值，連餘弦定理都難以處理
所以從特例正三角形和直角三角形去猜，畢氏定理可得到 a + b = c 這個符合題意的結果

除了 a + b = c 或 b + c = a 或 c + a = b，應該沒其它解了，有空再來做

這張題目多，技巧性高的題目也多，做法不調整，分數會很難看

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-27 06:24 編輯 ]

作者: farmer 時間: 2024-4-27 07:41 標題: 15題出錯，計算3用矩陣

15題只能得到角B=30°，這樣沒辦法確定三角形面積的範圍。

計算證明3用矩陣：
設P=矩陣如下：
a  c  b
b  a  c
c  b  a
則p=det(P)，設q=det(Q)，
則pq=det(PQ)，最後只需炸開證明：
PQ矩陣也是如上形式。
（不知這題有沒有其他方便的證法？）

[ 本帖最後由 farmer 於 2024-4-27 07:45 編輯 ]

作者: Dragonup 時間: 2024-4-27 08:33

#9 \(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\) 為直角三角形三邊的理由，剩下同 thepiano

[ 本帖最後由 Dragonup 於 2024-4-27 13:13 編輯 ]

作者: Hawlee 時間: 2024-4-27 13:48

謝謝老師們，最後想請問填充17
原本是想用座標化硬做，但後面數字太醜計算不太出來
不知道是否有其他技巧，謝謝

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-27 13:53 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-27 22:59

請教一下計算2 謝謝

作者: Dragonup 時間: 2024-4-27 23:05 標題: 回覆 27# zj0209 的帖子

作者: cut6997 時間: 2024-4-28 05:44 標題: 回覆 26# Hawlee 的帖子

正常情況下判別式的部分應該需要可以消掉
但這題消不掉導致會高達5次方...
真的要快就只能賭出題老師良心
由於面積等於9
而若取頂點和兩根所圍面積與其近似
可得x^3<=9
賭出題老師良心，可以直接得到x=2 也就是兩根之差為4，且頂點y座標為-4

[ 本帖最後由 cut6997 於 2024-4-28 06:27 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-28 09:21

感謝 Dragonup 老師

作者: farmer 時間: 2024-4-29 15:07 標題: 12題與17題

12題用廣義柯西不等式

17題高度懷疑是題目沒出好，
導致嚴謹解題需要解5次方程。
偷吃步解法為先測試出拋物線頂點
x坐標為h=1時，四邊形面積剛好為9，
再由圖形變化說明隨著h由0-->無限大，
該四邊形面積會越來越大（1對1對應），
因此h=1，b=-2。

[ 本帖最後由 farmer 於 2024-4-29 15:45 編輯 ]

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作者: ruee29 時間: 2024-5-29 21:54

整理113彰化高中填充題解答
整理填充3時卡住
高三任課班的學生整理出6位一循環並協助完成
自己試著用二階線性遞迴的公式 (沒有整理上去)
好像可以算出數列的一般式也是6位一循環
但對於此數列是否滿足S2023=2024 有些疑惑
填充10 使用了yymath老師教的體積公式
實力不夠好很多題想了好久
若老師們有需要可以參考看看
填充15，17 與計算3沒寫出來

附件: 113彰化高中填充題.pdf (2024-5-29 21:54, 1.91 MB) / 該附件被下載次數 659
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7123&k=5280510afcb9147cfc4b1ac65366aef8&t=1732291634

作者: chu 時間: 2024-8-1 14:32 標題: 填充17

幫大家補充一下，這題1113年彰女第2次教甄(第15題)又出現一次，它是101年南一中科學班檢定第二階段的某一題
參考資料: https://www.cnblogs.com/james-wangx/p/16111454.html

[ 本帖最後由 chu 於 2024-8-1 14:49 編輯 ]

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作者: chu 時間: 2024-8-1 14:36 標題: 計算證明2

繼續補充

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作者: chu 時間: 2024-8-1 14:37 標題: 計算證明3

大家都會,只是懶得貼

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作者: ruee29 時間: 2024-8-1 21:49

原來是這樣處理
感謝朱氏幸福老師的解說~

作者: Ellipse 時間: 2024-8-2 21:30

計算證明2:
令a=x+y, b=y+z, c=z+x
易知a,b,c可圍成一個△ABC
令Δ=△ABC的面積
則依題意知:Δ² =(x+y+z)(xyz)=9 (海龍公式)---------(*)
則由魏琴柏克不等式可證
(x+y)²+(y+z)²+(z+x)²=a²+b²+c²
≧(4√3)Δ=(4√3)*3 (by(*) )
≧18

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-8-2 21:33 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2024-8-13 16:36 標題: 回覆 33# chu 的帖子

請問 chu老師，想詢問根據您提供的性質代表過C點的斜率等於線段AM的斜率，如果這個假設是對的，代表 2倍的alpha = beta，雖然從答案來看也是對的，不過題目一開始的這個C點真的會符合我剛剛說的假設，還是說這個C點的位置只是剛好？

作者: Hawlee 時間: 2024-8-18 01:40 標題: 回覆 38# peter0210 的帖子

想法:
阿基米德拋物線給的性質平行AM的切點C一定是其中一解，但不確定是不是唯一解?
若從y=x^2出發，再把拋物線A平移到使的AB在X軸上，最後再平移使的通過(-2,5)
從這個想法開始去驗證唯一性
做一條切線L平行AM，若以AM為底則在切點有最大的高，可推得三角形ACM面積<=1/8 ABM
、8<= ABM面積<9 。

已知ABM面積=8有一解，所以探討ABM面積>8的情形:
在拋物線開口大小固定且底邊AB恆在X軸上，面積要從8往9趨近的過程，就相當於拋物線向逐漸往下平移，再來為了使得拋物線通過(-2,5)去向右平移。

令最終與x軸的兩交點為A'、B' ，與Y軸交點C''，頂點為M'
則A'、C''、M'點三點的x座標間距(水平間距)會比A、C、M大，
則A'C''M'面積>ACM面積，又A'M'B>8，可推得A'C''M'B'面積=A'C''M'+A'M'B'面積>1+8=9(矛盾)
所以切點C是唯一解，C必為平行AM的切線交點

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-8-18 02:12 編輯 ]

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作者: peter0210 時間: 2024-8-18 22:05

填充17
測試發現要符合"AMB面積為ACM面積的八倍"，b的值只有兩個，分別為-2和-2/3，其餘的b都不符合，
所以本題如果面積換成不是9的數字，就無法使用上述的性質，
蠻好奇如果面積改成不是9的數字，還有辦法在考場上算的出來嗎
且可以發現當b=-2和-2/3，此時過C點的切線才會平行直線AM，其餘的b都不符合
這一題會不會真的只是巧合？
還是我誤會了甚麼？！

p.s. 當b=-2/3，ACMB面積為1/3

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作者: Hawlee 時間: 2024-8-19 03:58 標題: 回覆 40# peter0210 的帖子

個人想法

阿基米德拋物線弓形面積的算法是利用弓形底部的直線向上平移到與拋物線相切，令這個切點為三角形的頂點，以此類推後面的小三角形也使用這樣的規則，最後透過總和去逼近弓形面積。
之後在過程中證明出每次這樣切出的三角形與前一個三角形面積比會是1:8。

朱老師發的那連結中有給出證明，所以若是用平行切線的做法是一定能找到兩點C點滿足這個性質並非巧合，但這個C點不能先固定在某條線上(GGB那個動圖C點固定在Y軸上)，而是透過平行大三角形兩邊的切線所找出的切點才會符合，左右會各一點符合這個性質。
(因為三角形兩邊斜率會因拋物線向下平移的大小而改變，所以切點C不在同一條線上)

這一題底部直線是水平軸又限制拋物線的形式為y=x^2+bx+c，所以第一個大三角形的頂點便是拋物線的頂點，在用大三角形的兩邊作與之平行的切線，與拋物線所交的左右兩切點都能形成面積為原三角形1/8的小三角形.

題目條件 (-2,5)，c點在y軸、兩三角形面積和為9，都是用來限制唯一答案的(想法在39樓)
面積和為9(限制大小三角形的面積與形狀，y=x^2的垂直位移)，
c點在y軸(主要限制拋物線的水平位移)
通過(-2,5)(限制找某一邊的平形切線切點)

由於都是y=x^2+bx+c，所以都可以用y=x^2去平移得到，大三角形的面積不受水平平移影響
，所以若垂直向下平移k單位，大三角形的面積為k√k，而一邊平形切線得出的小三角形則為(1/8)k√k
，所以一定可以設計出面積為(9/8)k√k的四邊形與存在符合的拋物線(不唯一)。
，再利用C點在y軸上去做水平的平移，而通過某一點的條件則可以限制這個平行兩邊的切線是要做在三角形的右側還是左側。

所以根據上面的想法嘗試改數據設計題目
若已知拋物線y=x^2+bx+c
通過點(5/2,7)，且圖形交x軸於A B,兩點，交y軸於C點，設拋物線頂點為M，若四邊形
ACMB面積為 243/8，求此拋物線方程式?

解:
由(9/8)k√k=243/8 => k=9 ，y=x^2往下平移9單位，得到y=x^2-9
交X軸於A'(-3,0)、B'(3,0)，拋物線頂點M'(0,-9)
做平行A'M'與平行B'M'的切線 L1:y=-3x-(45/4)、L2:y=3x-(45/4)，
交拋物線於C'(-3/2,-27/4)、C''(3/2,-27/4)，將拋物線往右或往左(3/2)單位使C'或C''在Y軸上，
得到拋物線:y=(x+3/2)^2-9 or y=(x-3/2)^2-9
最後驗證有無通過(5/2,7)，得到所求拋物線為 y=(x+3/2)^2-9

作者: peter0210 時間: 2024-8-19 20:36 標題: 回覆 41# Hawlee 的帖子

謝謝 Hawlee 老師熱心的回覆,我大致了解您的意思了
目前的理解就是為了通過(-2,5),所以把切點水平平移至Y軸上,好符合題意說的C點在Y軸上,
想再提出個問題,如果一樣是通過(-2,5),只是把四邊形的面積改為243/8,
這樣應該就不能再用上述的方式解題了？

作者: Hawlee 時間: 2024-8-19 23:26 標題: 回覆 42# peter0210 的帖子

這題應該就是要考阿基米德拋物線這個性質
不是因為為了通過(-2,5),所以把切點水平平移至Y軸上
而是將符合條件的切點平移到指定的軸上(也可以設計不是Y軸，例如X=1之類的也可以)
會有兩條拋物線符合面積(阿基米德給出的結論證明出存在性)
(-2,5)只是用來限制是做哪一邊的切點並也保證了唯一性(39樓)

三角形A'M'B'的兩側都可以找到平行A'M'與平行B'M'的切線與拋物線的切點
若將這兩點各自平移到Y軸會產生兩條拋物線
而這時候就是要選一個點去固定唯一的拋物線

所以這個點要選擇在某一條拋物線上的點(不能是這兩條的共同交點或都不在這兩條拋物線上的點)
所以這個點不能任意選
像後來更改的題目在面積243/8的條件下
所形成的可能兩條拋物線都沒有通過(-2,5)，會解不出答案

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-8-19 23:27 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2024-8-20 09:49 標題: 回覆 43# Hawlee 的帖子

今天利用電腦計算，符合通過(-2,5)且四邊形面積為243/8的b值約為-3.48797

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作者: Hawlee 時間: 2024-8-20 23:03 標題: 回覆 44# peter0210 的帖子

因在數值分析用演算法求出的近似值會很常出現進位制的問題，
所以利用R求出b的根，將精確度擴張到小數點第8位 -3.48797311(12位的話為-3.487973114741)
利用GGB就會發現A'C'M'B'的面積恆小於30.375，不會等於243/8

但的確用演算法可以知道在b在(-4,-3)有一個實根
但無法手算計算出來，電腦也只是給出一個近似值，非一精確值的答案

所以這種題型如果要考的話
1.設計好數據，使在列關係式時可以手算算出所求
2.考阿基米德拋物線性質，如43樓所說設計通過的點，必須不能是交點或皆無通過的點
不然會像(-2,5)與面積243/8一樣，無論手解或電腦演算法都解不出精確值的答案

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-8-21 03:49 編輯 ]

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作者: Superconan 時間: 2024-11-9 22:31 標題: 回覆 18# Dragonup 的帖子

請問倒數第二列，
為什麼 P' 為 ΔABG 的垂心，可推得直線 DG 與直線 DP 重合？

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