標題: 113嘉科實中(高中部) [打印本頁]

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作者: Superconan    時間: 2024-4-21 19:14     標題: 113嘉科實中(高中部)

請教填充第 1 題

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6985&k=9f46d613b5afd4745451f7665ecbd910&t=1732270267

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作者: bugmens    時間: 2024-4-21 19:27

一、填充題
5.
空間中，平面\(y-z=1\)交球面\(x^2+y^2+z^2=4\)於一圓，則此圓投影在\(xy\)平面上的封閉圖形面積為　　　。
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1406099234.A.48F.html

6.
設多項式函數\(f(x)\)滿足\(deg(f(x))=2024\)，且對於\(k=1,2,3,\ldots,2025\)，恆有\(\displaystyle f(k)=\frac{2}{k}\)，則\(f(2026)\)之值為　　　。
相關問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

二、計算證明題
1.
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{BC}=6\)、\(\overline{CA}=7\)，\(P\)為邊上或內部一點，請回答下列問題：
(1)求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)的最小值，寫出此時\(P\)點所在的位置，並證明之。
(2)求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)的最大值，寫出此時\(P\)點所在的位置，並證明之。
(3)若將三角形推廣到任意凸四邊形\(ABCD\)，請分別寫出當\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2\)發生最大值與最小值時，\(P\)點所在的位置(不需證明)。
凸多邊形邊上或內部一點到各頂點距離平方和的極值，https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... 9C%88%E5%88%8A).pdf

若\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{AC}=6\)、\(\overline{BC}=7\)，且\(P\)為三邊上或其內部的任一點，則點\(P\)到三頂點距平方和\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)有最小值時，\(\overline{PA}^2=\)　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3756&page=1#pid25178)

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作者: cut6997    時間: 2024-4-21 19:44     標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

1:1*56mod10 6
2:2,4,8,6循環 10mod4=2,故4,6循環,56個個位數歸0
3:3,9,7,1,循環 同上 7,3 歸0
4:4,6循環, 故從頭到尾都是6 , 6*56mod10=6
5:5*56mod10=0
以下僅有55組
6:6*55mod10=0
7:7,9,3,1循環     3,7到54組為0,故為3
8:8,4,2,6循環     6,4,到54組為0,故為6
9:9,1循環     從頭到尾都是9 ,-1*55mod10=-5
6+6+3+6-5(mod10)=6
以上土法煉鋼，不知道有沒有比較快的

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作者: mathchen    時間: 2024-5-23 15:48     標題: 填充7

各位老師好，想請問填充第七題。
題目源自113年嘉科實中之教師甄試，剛剛因為操作有誤而不小心發表到新的主題。
於是沒有在原貼文底下留言，若造成老師不便敬請見諒。

113.5.23版主補充
將問題和113嘉科實中合併

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作者: thepiano    時間: 2024-5-23 19:12     標題: 回覆 4# mathchen 的帖子

第 7 題
在坐標平面上，若\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1\)、\(A(9,0)\)、\(B(7,7)\)，且動點\(P\)在\(\Gamma\)上，試求：\(5\overline{PA}+3\overline{PB}\)的最小值為。
[解答]
a = 15、b = 12、c = 9
右焦點 A(9，0)

離心率 e = c/a = 3/5
右準線：x = a^2/c = 25

作 PM 垂直右準線於 M
PM = PA/e = (5/3)PA

5PA + 3PB = 3[(5/3)PA + PB] = 3(PM + PB) ≧ 3BM = 54
等號成立於 B、P、M 共線

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作者: mathchen    時間: 2024-5-24 16:26     標題: 回覆 5# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的回覆，此方法已經有看懂也算出，不過我想請問這種橢圓的題目是否可以使用胡不歸問題的方式解題，還是他的比例一定要跟離心率有關係才能解出?

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作者: thepiano    時間: 2024-5-25 07:29     標題: 回覆 6# mathchen 的帖子

比例是設計好的

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作者: mathchen    時間: 2024-5-25 14:14     標題: 回覆 7# thepiano 的帖子

了解，謝謝老師的回覆!!

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作者: ruee29    時間: 2024-8-8 22:35

整理了嘉科實中高中部填充題解答 供參考

附件: 113嘉科實中(高中)填充題解答.pdf (2024-8-8 22:35, 1.6 MB) / 該附件被下載次數 349
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7225&k=5d0229e5770dcc9be23d9bfb8c8c03f5&t=1732270267

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