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標題: 113中山女高 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2024-4-19 22:14 標題: 113中山女高

中山女高填充題與答案

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作者: bugmens 時間: 2024-4-19 22:21

1.
若\(\displaystyle f(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}}\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{500}\frac{1}{f(2k-1)}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872

3.
已知\(ABCD\)為正四面體，有一隻小蟲反覆在四個頂點之間移動，它從一個頂點爬行至另一頂點稱為一次，已知小蟲從一頂點爬行到任一相鄰頂點的機率均相同，今小蟲從\(A\)點開始出發沿稜線爬行至\(B\)、\(C\)、\(D\)其中一點，設\(a_n\)表示小蟲爬行\(n\)次後在\(A\)點的機率。可以寫出一般式\(a_n=\)　　　。
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071

5.
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{3&-4\cr 4&3}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，則\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值為　　　。

在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a=\overline{OP_1}\)。
(1)試求\(sin(\angle P_1OP_3)\)。
(2)試以\(a\)表示\(\Delta P_1P_2P_3\)的面積。
(3)假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。
106數甲

6.
卡當諾(Girolamo Cardano,1501-1576)所著的《偉大的技藝(Ars Magna，英譯為The Great art)》書中有一題有趣的三角形面積問題：
There is a triangle the difference between the first and the second sides of which is 1 and between the second and third sides of which is also 1, and the area of which is 3. What is the largest side length? Ans：_______。
(我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)
[解答]
設三邊為\(a=x-1,b=x,c=x+1\)，最大邊長為\(c=x+1\)
利用海龍公式\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3x}{2}\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{3x}{2}\left(\frac{3x}{2}-(x-1)\right)\left(\frac{3x}{2}-x\right)\left(\frac{3x}{2}-(x+1)\right)}=3\)
\(\displaystyle \frac{3x}{2}\cdot \frac{x+2}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x-2}{2}=9\)
\(\displaystyle x^2(x^2-4)=48\)
\(x^4-4x^2-48=0\)
\(\displaystyle x^2=\frac{4\pm \sqrt{4^2+4\cdot 1 \cdot 48}}{2}=\frac{4\pm 4\sqrt{13}}{2}=2\pm 2\sqrt{13}\)(負不合)
\(x=\sqrt{2+2\sqrt{13}}\)
最大邊長\(c=x+1=\sqrt{2+2\sqrt{13}}+1\)

10.
已知\(\displaystyle tan10\theta=\frac{a_1\cdot tan\theta+a_3\cdot tan^3\theta+a_5\cdot tan^5\theta+a_7\cdot tan^7\theta+a_9\cdot tan^9 \theta}{a_0+a_2\cdot tan^2\theta+a_4\cdot tan^4\theta+a_6\cdot tan^6\theta+a_8\cdot tan^8\theta+a_{10}\cdot tan^{10}\theta}\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{10}|\;a_k|\;=\)　　　。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3350&page=1#pid21520

作者: aizin 時間: 2024-4-22 20:07 標題: 113中山女中填充題8

想請教113中山女中填充題8，謝謝老師

作者: ahliang6897 時間: 2024-4-22 23:07

8.化為50*0.999^1000近似於50*1/e，可參考“37法則”

[ 本帖最後由 ahliang6897 於 2024-4-23 09:46 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-25 12:01

想請教一下第7題

作者: thepiano 時間: 2024-4-25 12:27 標題: 回覆 5# zj0209 的帖子

第 7 題
令 f(x) = ka^x

f(x + y) = 2f(x)f(y)
ka^(x + y) = 2 * ka^x * ka^y
k = 1/2

f(x) = (1/2)a^x
f'(x) = (lna/2)a^x
f'(0) = 2，lna = 4

f''(x)/f(x) = [(1/2)(lna)^2 * a^x]/[(1/2)a^x] = 16

作者: zj0209 時間: 2024-4-25 15:08

謝謝鋼琴老師

作者: lovejade 時間: 2024-5-9 10:14

想請教一下填充第2題，
本來想說討論，AB和DE相同或相異的狀況，但想不出來

後來找到了有個龍騰數亦優的方法，不知道有沒有其他方式?

[ 本帖最後由 lovejade 於 2024-5-9 10:46 編輯 ]

附件: 04舊的塗色問題，新的計算方法.pdf (2024-5-9 10:46, 644.18 KB) / 該附件被下載次數 779
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7070&k=61a9f6df47da87cd349324964e72140a&t=1732257010

作者: thepiano 時間: 2024-5-9 11:19 標題: 回覆 8# lovejade 的帖子

跟扇形著色問題一樣

作者: lovejade 時間: 2024-5-9 13:55 標題: 回覆 9# thepiano 的帖子

原來是這樣思考的呀?!
謝謝鋼琴老師!

作者: laylay 時間: 2024-5-10 09:51 標題: 回覆 5# zj0209 的帖子

f(0)=f(0+0)=2f(0)f(0),且f(0)>0 => f(0)=1/2
f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h (h--->0)
   =lim(2f(x)f(h)-f(x))/h (h--->0)
   =2f(x) lim(f(h)-f(0))/h (h--->0)
   =2f(x)f'(0)=4f(x)
f''(x)=(f'(x))'=(4f(x))'=4(f(x))'=4*4f(x)=16f(x)
故所求16
另請問滿足題意的 f(x) 能否找出非單項指數型式的函數呢?

[ 本帖最後由 laylay 於 2024-5-10 10:29 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2024-5-10 13:50 標題: 4.

將原圖先縮小1/25,使兩杆頂座標為（-1,0）,（1,0）即為橢圓兩焦點，c=1,2a=100/25=4
a=2=>b^2=3,此橢圓：x^2/4+y^2/3=1
P(t,-1),t<0,代入橢圓得t=-2✓6/3
所求=25（2✓6/3-1）

作者: Ellipse 時間: 2024-5-10 15:36

引用:

原帖由 laylay 於 2024-5-10 09:51 發表
另請問滿足題意的 f(x) 能否找出非單項指數型式的函數呢?

就只有指數型函數喔,您可以看以下影片說明
https://www.youtube.com/watch?v=LgqYrwiotmQ

作者: Superconan 時間: 2024-8-7 12:55

請教證明及問答題第 1 題

附件: 中山女中113_試題_證明及問答題是記憶版.pdf (2024-8-7 12:55, 283.63 KB) / 該附件被下載次數 268
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7223&k=afef0bdbe5767d0302e3c154be7f23a8&t=1732257010

作者: thepiano 時間: 2024-8-7 16:23 標題: 回覆 14# Superconan 的帖子

證明第 1 題
[(a + b)/a](sinx)^4 + [(a + b)/b](cosx)^4 = 1
(b/a)(sinx)^4 + (a/b)(cosx)^4 + (sinx)^4 + (cosx)^4 = 1
(b/a)(sinx)^4 + (a/b)(cosx)^4 - 2(sinx)^2(cox)^2 = 0
[√(b/a)(sinx)^2 - √(a/b)(cosx)^2]^2 = 0
√(b/a)(sinx)^2 = √(a/b)(cosx)^2 = √(a/b)[1 - (sinx)^2]
(sinx)^2 = a/(a + b)，(cosx)^2 = b/(a + b)
代入欲證明之式子即可證出

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