Board logo

標題: 113鳳山高中 [打印本頁]
作者: koeagle    時間: 2024-4-16 09:04     標題: 113鳳山高中

113鳳山高中，61分進複試。

想請教填充7、11、12題，謝謝。

[ 本帖最後由 koeagle 於 2024-4-16 11:46 編輯 ]

附件: 113鳳中教甄初試筆試數學科試題.pdf (2024-4-16 09:04, 282.13 KB) / 該附件被下載次數 1717
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6956&k=62643f0476887f659c256b964519dd16&t=1732276493

附件: 113鳳中教甄初試筆試數學科試題填充題答案.pdf (2024-4-16 09:04, 106.29 KB) / 該附件被下載次數 1461
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6957&k=35ea0948f7eb6bfb6398d1ee02a41751&t=1732276493
作者: bugmens    時間: 2024-4-16 10:16

1.
已知\(m,n\)為正整數，且\(\sqrt{m}+\sqrt{n}=\sqrt{2023}\)，試求數對\(m,n)\)有　　　組解。
連結有解答，https://math.pro/db/thread-664-1-1.html

3.
已知方陣\(A=\left[\matrix{0&0&-2\cr 1&2&1 \cr 1&0&3}\right]\)，\(A^2=\left[\matrix{-2&0&-6\cr 3&4&3 \cr 3&0&7}\right]\)。設\(n\)為正整數，試用\(n\)表方陣\(A^n\)之一般式為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

4.
假設地球為一球體，今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一空間直角坐標系。設地球表面上甲、乙、丙三地，甲、乙兩地的座標分別為\((1,0,0)\)及\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，丙地為甲乙兩地球面上最短路徑之中點，試求丙地之座標為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178

1.
試求\(\left|\matrix{tan40^{\circ}&tan10^{\circ}&tan50^{\circ}\cr tan20^{\circ}&tan50^{\circ}&tan70^{\circ}\cr tan10^{\circ}&tan70^{\circ}&tan80^{\circ}}\right|\)之值。

計算\(\Delta=\left|\matrix{tan70^{\circ}&tan20^{\circ}&tan50^{\circ}\cr tan80^{\circ}&tan10^{\circ}&tan70^{\circ}\cr tan60^{\circ}&tan30^{\circ}&tan30^{\circ}}\right|=\)　　　。
高中數學101 P202

3.
\(f(x)=\sqrt{x-27}+\sqrt{40-x}+\sqrt{x}\)，其中\(27<x<40\)，試求\(f(x)\)最大值為何？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174
作者: thepiano    時間: 2024-4-16 13:03     標題: 回覆 1# koeagle 的帖子

第 7 題
[x/2] - [x/3] = x/7
整數減整數是整數，故 x 為 7 的倍數

(x/2 - 1) - x/3 ＜ x/7 ＜ x/2 - (x/3 - 1)
-42 ＜ x ＜ 42

代入檢驗，可知 x = 21、7、0、-7、-14、-28


第 11 題
O(0，0)、P(12，5)

OP 交圓 (x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 於 C
OP = 13，OC = 11

作 C 關於 y = √3x 的對稱點 E；關於 x 軸的對稱點 F
OE = OF = OC = 11，∠EOF = 120 度

EF 交 y = √3x 於 A；交 x 軸於 B
所求為 EF

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-16 13:19 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2024-4-16 15:18     標題: 回覆 1# koeagle 的帖子

第 12 題
考慮 "至少有 1 個數字不超過 1" 和 "至少有 2 個數字不超過 2" 就好

不用考慮 "至少有 3 個數字不超過 3"，因為每個字串中的 4 個數字都不超過 3

用反面做法
全部 - "所有數字都超過 1" - "恰有 1 個數字(0 或 1 或 2)不超過 2，其他 3 個都超過 2"
= 4^4 - 2^4 - 4 * 3 + 4
= 232

最後加 4，是因為 2333、3233、3323、3332 這四個被扣了兩次，要加回來
作者: cut6997    時間: 2024-4-16 15:30

想詢問一下計算第三題
本來是想配柯西
(a(x-27)+b(40-x)+c(x))(1/a+1/b+1/c)>=(所求)^2
為了消掉x項會有a+c=b
且取等條件可成立，a(x-27):b(40-x):c(x)=1/a:1/b:1/c
之後就沒想法了
作者: lovejade    時間: 2024-4-16 15:53

想請教一下，填充第2跟5題，謝謝
作者: zidanesquall    時間: 2024-4-16 17:04     標題: 回覆 6# lovejade 的帖子

#2  

| det(4OA; 4OB; 4OC) |-| det(2OA; 2OB; 2OC) | =4^3* | det(OA; OB; OC) |  -2^3*| det(OA; OB; OC) | =56*20=1120

#5

假設 首項 a,b  公差 d, 公比r
列出式子為

\(C_1=a+b=1, C_2=a+d+br=4, C_3=a+2d+br^2=15, C_4=a+3d+br^3=2 \)
利用 \( a=1-b \) 代入 \(C_1, C_2, C_3 \) 解 \(b, d, r\)
作者: thepiano    時間: 2024-4-16 17:08     標題: 回覆 6# lovejade 的帖子

第 5 題
a_1 用 a 取代，b_1 用 b 取代

a + b = 1
a + d + br = 4
a + 2d + br^2 = 15
a + 3d + br^3 = 2

第二式減第一式：d + b(r - 1) = 3
第三式減第二式：d + br(r - 1) = 11
第四式減第三式：d + br^2(r - 1) = -13

第六式減第五式：b(r - 1)^2 = 8
第七式減第六式：br(r - 1)^2 = -24

r = -3，b = 1/2，a = 1/2，d = 5

c_6 = a_6 + b_6 = 51/2 + (-243/2) = -96
作者: lovejade    時間: 2024-4-16 17:16

謝謝老師們的回覆，我懂了
作者: koeagle    時間: 2024-4-16 17:50     標題: 回覆 3# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師。
作者: koeagle    時間: 2024-4-16 17:52     標題: 回覆 5# cut6997 的帖子

113鳳山高中計算3
108中科實中雙語部考過

圖片附件: 113鳳山高中計算3.jpg (2024-4-16 17:52, 181.12 KB) / 該附件被下載次數 461
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6958&k=893b2e35f671d6237fb597fd0f962807&t=1732276493

作者: koeagle    時間: 2024-4-16 17:57

想請教計算第1題，謝謝。
作者: thepiano    時間: 2024-4-16 17:57     標題: 回覆 5# cut6997 的帖子

a + c = b
a^2(x - 27) = b^2(40 - x) = c^2(x)
由於 27 ＜ x ＜ 40，讓 x = 36，則 x - 27、40 - x、x 都是完全平方數
9a^2 = 4b^2 = 36c^2
當 3a = 2b = 6c 時，有 a + c = b
作者: thepiano    時間: 2024-4-16 18:08     標題: 回覆 12# koeagle 的帖子

計算第 1 題
101 雄中考過，參考 Ellipse 兄的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=7464#p7464
作者: koeagle    時間: 2024-4-16 18:15     標題: 回覆 14# thepiano 的帖子

謝謝老師！
作者: cut6997    時間: 2024-4-16 18:26

謝謝 koeagle 老師 和 thepiano 老師
原來多設了一個變數，搞得做不太動
以平方數直接切入感覺更是玄妙
作者: jerryborg123    時間: 2024-4-16 20:32     標題: 回覆 3# thepiano 的帖子

我的作法前面跟鋼琴老師大致相同
有設x=7k再去解不等式，解出-4<=k<=3
但想不通為什麼這之中還會有不合的情形？只能帶入檢驗嗎？
作者: thepiano    時間: 2024-4-16 21:57     標題: 回覆 17# jerryborg123 的帖子

高斯方程就是這樣，不過沒幾個，驗一下很快
作者: jerryborg123    時間: 2024-4-17 11:28

請教填充9
用一般圓盤法計算過程複雜,不知道有沒有更好的作法.
作者: chu    時間: 2024-4-17 11:43     標題: 計3

人家數字已規劃好了!!


圖片附件: Screenshot from 2024-04-17 11-42-05.png (2024-4-17 11:43, 36.77 KB) / 該附件被下載次數 417
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6961&k=f8fc6afeab06efb753214b6f475fff64&t=1732276493

作者: Ellipse    時間: 2024-4-17 14:00

引用:
原帖由 jerryborg123 於 2024-4-17 11:28 發表
請教填充9
用一般圓盤法計算過程複雜,不知道有沒有更好的作法.
都差不多複雜吧, 用柱殼法數據也是會有分數
所以要衡量當下要不要先做這題

圖片附件: 1713333338899.jpg (2024-4-17 14:00, 42.73 KB) / 該附件被下載次數 449
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6962&k=27aca0583798c395fd4ff54efb937837&t=1732276493

作者: s7908155    時間: 2024-4-17 14:12     標題: 回覆 19# jerryborg123 的帖子

可以使用pappus theorem，利用質心位置繞x軸一圈的長度乘以面積。

所求即 (三角形面積40 )*(2*pi *26/3)=2080pi/3    (質心即三角形重心，考慮y座標26/3即可)

如果是出繞y=x 還是其他直線都很好用，利用質心帶點到直線距離公式繞一圈乘面積就好。

可參考這篇文獻。

[ 本帖最後由 s7908155 於 2024-4-17 14:21 編輯 ]

附件: 03-100005-探討一道旋轉體積的命題解題與成題(月刊).pdf (2024-4-17 14:21, 440.01 KB) / 該附件被下載次數 948
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6964&k=4ffbcb4bef8b61ce8694e03b7d1d3c04&t=1732276493
作者: Hawlee    時間: 2024-4-22 21:52

想請問填充第二題?
作者: ruee29    時間: 2024-4-23 22:51

整理鳳山高中的解答 供參
填充2 可以想成
4倍邊長的四面體體積 扣掉 2倍邊長的四面體體積

[ 本帖最後由 ruee29 於 2024-4-24 08:59 編輯 ]

附件: 113鳳山解答.pdf (2024-4-23 22:51, 1.69 MB) / 該附件被下載次數 816
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6991&k=200021b8b56b74296fa5bb65eed41c3b&t=1732276493
作者: Superconan    時間: 2024-8-4 14:47

請問填充第 3 題
有沒有對角化以外的方法？
目前發現 3A-2I = A^2

[ 本帖最後由 Superconan 於 2024-8-4 15:01 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2024-8-5 21:05     標題: 回覆 25# Superconan 的帖子

填充 3.
以下 O 為 3 階零矩陣、I 為 3 階單位方陣

由 \( 3A-2I = A^2 \) 可得 \( A^2 - 3A +2I = O \)

考慮多項式 \( x^n \) 除以 \( x^2-3x+2 \) 的商式為 \( q(x) \)，餘式為 \( ax+b \)

則 \( x^n = (x^2-3x+2)q(x) + ax+b \)

以 \( x=1, 2 \) 分別式入上式得 \( a=2^{n}-1, b=2-2^{n} \)

因此  \( x^n = (x^2-3x+2)q(x) + (2^n - 1)x+ 2-2^n \)

故 \( A^n = (2^n - 1)A+ (2-2^n)I \)
(再把 A 寫出來，就可以得到一般式)



歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0