標題:
一題排列
[打印本頁]
作者:
iammark
時間:
2024-1-30 06:17
標題:
一題排列
請問各位老師一題，
將1、2、3、4、5、6六個數字按大、小、大、小、大、小的方式(614352)排列有幾種？
作者:
iammark
時間:
2024-1-30 06:23
標題:
回覆 1# iammark 的帖子
20240129_175306.jpg
(49.7 KB)
2024-1-30 09:05
我只會土法鍊鋼
[
本帖最後由 iammark 於 2024-1-30 09:05 編輯
]
圖片附件:
20240129_175306.jpg
(2024-1-30 09:05, 49.7 KB) / 該附件被下載次數 280
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6864&k=2e4cf18d455a9e8c85c3729ce4e9b5d3&t=1714686221
作者:
tsusy
時間:
2024-1-30 21:31
標題:
回覆 1# iammark 的帖子
令 \( a_{n} \) 為 \( 1\sim n \) 依大、小、大、小... 的方法數(由左至的第奇數個數，比相鄰的數大)
注意到 \( 1\sim n \) 依小、大、小、大... 的方法數亦為 \( a_{n} \)
易知 \( a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=2 \)
以 \( n \) 的位置來分類方法，有以下
4XXX
XX4X
\( a_{4}=a_{3}+C_{2}^{3}a_{2}\cdot C_{1}^{1}a_{1}=5 \)
5XXXX
XX5XX
XXXX5
\( a_{5}=2a_{4}+C_{2}^{4}a_{2}\cdot C_{2}^{2}a_{2}=10+6=16 \)
6XXXXX
XX6XXX
XXXX6X
\( a_{6}=a_{5}+C_{2}^{5}a_{2}\cdot C_{3}^{3}a_{3}+C_{4}^{5}a_{4}\cdot C_{1}^{1}a_{1}=16+20+25=61 \)
[
本帖最後由 tsusy 於 2024-1-30 21:32 編輯
]
作者:
DavidGuo
時間:
2024-2-1 21:34
標題:
回覆 1# iammark 的帖子
此排列稱為交錯排列(Alternating permutation)
數字小，可以慢慢討論，數字一大就無法用高中方法算…
這是有名的安德烈問題(André's problem)，大約1880年左右提出的。
原問題是小大小大…
答案是歐拉數列(Euler Number)，見OEIS: A000111
這個沒有公式，
但可以利用其遞迴式，解微分方程，得到指數生成函數為 sec(x)+tan(x)
是一個很漂亮的結果。
Stanley, 2010年,有寫了一篇Survey，得到它的漸近式為 \(2n!(\frac2\pi)^{n+1}\)。
可以搜尋上面這些關鍵字，應該會得到不少說明。
[
本帖最後由 DavidGuo 於 2024-2-1 21:41 編輯
]
作者:
iammark
時間:
2024-2-9 20:32
標題:
回覆 4# DavidGuo 的帖子
謝謝老師的回應
作者:
iammark
時間:
2024-2-9 20:33
標題:
回覆 3# tsusy 的帖子
謝謝老師精采的解法
歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)
論壇程式使用 Discuz! 6.1.0
圖片附件: 20240129_175306.jpg (2024-1-30 09:05, 49.7 KB) / 該附件被下載次數 280