標題: 向量問題請教 [打印本頁]

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作者: aliher327    時間: 2023-12-23 09:04     標題: 向量問題請教

E.
右圖四邊形\(ABDC\)，已知\(\displaystyle tan(\angle BAC)=\frac{4}{3}\)，且\(\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}\)，若\(\overline{CD}=12\)，\(\displaystyle \vec{AD}=\frac{5}{11}\vec{AB}+\frac{10}{13}\vec{AC}\)，則\(\overline{BD}=\)　　　。

台南女中考題請教,謝謝

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作者: aliher327    時間: 2023-12-23 15:03     標題: 回覆 1# aliher327 的帖子

已經解出來了，謝謝大家

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作者: youngchi    時間: 2024-1-3 01:19

可以請問一下如何解呢?
我利用向量與圓冪性質求出AD與 BC關係
接下來用餘弦與正弦就卡住了
用tan(a+b)公式也不行
想利用托勒密也不行
找圓心設半徑再利用相鄰角的餘弦和=0也不行
請問專家老師們, 應該要如何解題?
謝謝!

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作者: Lopez    時間: 2024-1-3 14:35     標題: 回覆 3# youngchi 的帖子

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作者: thepiano    時間: 2024-1-3 15:03     標題: 回覆 3# youngchi 的帖子

令 ∠CAD = α，∠BAD = β，AD 與 BC 交於 E

利用向量與圓冪性質可求出
AE/DE = 143/32，BE/CE = 22/13，AD/BC = 5/4
AE：BE：CE：DE = 143：88：52：32

△ACE 中，利用正弦定理可求出 cosβ = (13/4)sinα
△ABE 中，利用正弦定理可求出 sinβ = (8/13)cosα

sin(α + β) = 4/5
(13/4)(sinα)^2 + (8/13)(cosα)^2 = 4/5
(sinα)^2 = 16/185，(cosα)^2 = 169/185，(sinβ)^2 = 64/185
sinβ = 2sinα

△BCD 中，利用正弦定理可求出 BD = 12sinβ/sinα = 24

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作者: aliher327    時間: 2024-1-4 14:35     標題: 回覆 1# aliher327 的帖子

抱歉, 現在才看到有人提問, 我貼一下我當時的解法, 用定坐標的方法

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作者: youngchi    時間: 2024-1-4 18:05

非常感謝各位老師的詳解!
Thanks a million.

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