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標題: 請教一題交大apx的題目 [打印本頁]

作者: g112 時間: 2023-11-30 16:58 標題: 請教一題交大apx的題目

如題官方答案是5/3
我只能算出在r>=1時 r的範圍在[1,2]之間
煩請各位老師幫忙
如果覺得官方答案有誤也可以提出討論(因為這份考卷有其他題的答案有問題)
謝謝

圖片附件: 螢幕擷取畫面 2023-11-30 165305.jpg (2023-11-30 16:58, 51.06 KB) / 該附件被下載次數 816
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作者: tsusy 時間: 2023-12-1 14:14 標題: 回覆 1# g112 的帖子

是否題目有抄錯？我沒有在交大 APX 官網那找到相關的資訊

先就目前的條件：等比數列 \( <a_n> \) 滿足公比 \( r>0, a_1>0 \), 前 \( n \) 項和 \( S_n \) 滿足 \( \frac{S_{n+1}}{3} \le S_n \le 3 S_{n+1}, \forall n \in \mathbb N \)
來認真做一做。

\( r>0, a_1 >0 \Rightarrow a_n>0, \forall n\in \mathbb N \) \( \Rightarrow S_{n+1} > S_n >0 \)

因此必有 \( 3S_{n+1} > S_{n+1} \ge S_n \)，也就是說 \( S_n \le 3 S_{n+1} \) 是沒有任何用處的條件。
(這裡讓我覺得，有一點可能題目記錯或抄錯)

若 \( r \neq 1 \)，
\( \frac{S_{n+1}}{3} \le S_n \Leftrightarrow \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r} \leq \frac{3 - 3r^n}{1 - r}\Leftrightarrow 0 \leq \frac{2 + r^{n + 1} - 3r^n}{1 - r} \)

\( \Leftrightarrow 0 \leq (2 + (r - 3)r^n)(1 - r)\Leftrightarrow 0 \leq 2 - 2r + (r - 3)(1 - r)r^n \)

\( \Leftrightarrow (r^2 - 4r + 3)r^n \leq 2 - 2r\Leftrightarrow r^2 - 4r + 3 \leq \frac{2 - 2r}{r^n} \)

注意到上面的不等式是對所有正整數 n 均成立，而最後一個式子的左側與 \( n \) 無關
故等價於 \( r^2 - 4r + 3 \leq \min \{ \frac{2 - 2r}{r^n} \} \)

而無論 \( 0<r<1 \) 或 \( r>1 \)，\( \min \{ \frac{2 - 2r}{r^n} \} = \frac{2 - 2r}{r} \)

因此得 \( r^2 - 4r + 3 \leq \frac{2 - 2r}{r} \)，化簡得 \( (r-1)^2(r-2) \le 0 \Leftrightarrow r \le 2\)

當 \( r=1 \) 時，易知滿足題意中之不等式。

綜合以上得所有滿足題意不等式的公比 \( r>0 \) 的範圍為 \( 0< r \le2 \)，即 \( (0,2] \)
與題目所給閉區間不合。(可能題目出錯了？)

拉個 EXCEL 也容易檢驗

[ 本帖最後由 tsusy 於 2023-12-1 14:15 編輯 ]

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作者: g112 時間: 2023-12-1 15:48

先謝謝吋絲老師的幫忙
這個題目是學生給我的，題目來源需要先報名該年度的APX考試才能拿到練習題(而且都是線上測驗，所以網路上幾乎沒有流傳考卷)
我會請學生如果方便的話直接秀原始畫面給我看，如題目有抄錯我會再回復，謝謝

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