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標題: 112台中市國中聯招 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2023-7-14 23:11     標題: 112台中市國中聯招

　

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作者: bugmens    時間: 2023-7-14 23:11

26.
設\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k^2+nk+n^2}}=\ln\alpha\)，則\(\alpha\)之值為何？
(A)\(\displaystyle 1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)　(B)\(\displaystyle 1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\)　(C)\(\displaystyle 1+\sqrt{3}\)　(D)\(\displaystyle 1+\sqrt{2}\)
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615
[解答]
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{k}{n}\right)^2+\left(\frac{k}{n}\right)+1}}=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=asinh\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\Bigg\vert\;_0^1=asinh(\sqrt{3})-asinh(\frac{1}{\sqrt{3}})\)
\(\displaystyle =\ln(\sqrt{3}+2)-\ln(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}})=\ln\left(\frac{\sqrt{3}+2}{\frac{3}{\sqrt{3}}}\right)=\ln\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\ln \alpha\)，\(\alpha=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1}dx=asinh\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+c\)積分過程只好借助網站幫忙計算
https://www.emathhelp.net/en/cal ... Bx%2B1%29&var=x
公式\(arsinhx=ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，\(-\infty<x<\infty\)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions

類似題
求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}\)。
(95彰化女中，1941Putnamhttps://prase.cz/kalva/putnam/psoln/psol419.html)

30.
設\(x=\root 3\of{\sqrt{17}+3}-\root 3\of{\sqrt{17}-3}\)，則\(x^3+6x+7\)之值為何？
(A)10　(B)11　(C)12　(D)13

37.
設\(A=\left(\matrix{4&4\cr -1&-1}\right)\)，而\(A+A^2+\ldots+A^n=\left(\matrix{2(3^n-1)&a \cr b&c}\right)\)，求\(b+c=\)？
(A)\(3^n-1\)　(B)\(1-3^n\)　(C)\(4(3^n-1)\)　(D)\(4(1-3^n)\)
我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875



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