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標題: 112屏東高中 [打印本頁]

作者: koeagle 時間: 2023-6-20 13:20 標題: 112屏東高中

112屏東高中教師甄選

填充第4題，考試當下題目改成「設 \( a^2 , b^2 \) 為正整數」。

想請教填充5、計算14。

【站長補充：附件已更新為官方公告的更正後答案版本，其中第2、14題的答案有更新。】

附件: 112屏東高中_教師甄試數學科(更正版).pdf (2023-6-20 23:09, 660.48 KB) / 該附件被下載次數 2285
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6766&k=7d2044749e0f11ef5362b4b7a82f4a52&t=1732270508

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-6-20 13:47

填充第二題後來答案有更正

不過更正的檔案，就沒有附上填充題的題目了

【站長補充：已用官方公告的更正後答案，替換首篇附件的原試題之答案。】

作者: cathy80609 時間: 2023-6-20 14:32

想請問老師們，計算題第14題答案是否有誤呢
按照題目給的x坐標算起來是負的
但C點是不是應該在第一象限呢

作者: weiye 時間: 2023-6-20 16:00

引用:

原帖由 cathy80609 於 2023-6-20 14:32 發表
想請問老師們，計算題第14題答案是否有誤呢
按照題目給的x坐標算起來是負的
但C點是不是應該在第一象限呢

計算第14題
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(-4,2)\)，求\(C\)點坐標。
[提示]
\(C\) 點坐標應為 \(\displaystyle \left(-2+\tan72^\circ,1+2\tan72^\circ\right)=\left(-2+\sqrt{5+2\sqrt{5}}, 1+2\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)\)

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-6-20 16:03 標題: 回覆 3# cathy80609 的帖子

的確，x座標應該是 \(-2 + \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}\)

不過好像來不及提出疑義了?

作者: thepiano 時間: 2023-6-20 16:23 標題: 回覆 1# koeagle 的帖子

填充第 5 題
從\(1,2,3,\ldots,n\)的正整數中任意取出89個不同的數，使得這89個數中一定有兩個數的差等於11，求\(n\)的最大值為　　　。
[解答]
把除以 11 的餘數相同的寫成同一列
1、12、23、...、155、166
2、13、24、...、156、167
3、14、25、...、157、168
：
：
11、22、33、...、165、176
上面共 16 直行，每行 11 個數
任選 88 個數，可能都選到 8 個奇數行或 8 個偶數行的數
再多選 1 個數，必可保證有兩數的差是 11

作者: peter0210 時間: 2023-6-20 21:38

請問填充9答案是否為-6×3=-18
因為該函數並不是嚴格遞增
它和y=42,y=28各有三個交點

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-6-20 22:54

新的公告，第14題答案更正了
不過如peter老師所言，第9題也有問題，看明天會不會再更正一次

【站長補充：首篇的附件已更新為官方公告的更正後答案版本，其中第2、14題的答案有更新。故刪除本回覆的附件，以節省空間。】

作者: koeagle 時間: 2023-6-20 23:39 標題: 回覆 7# peter0210 的帖子

填充9
設實係數多項式函數\(f(x)=x^3+9x^2+8x+5\)，若\(f(s)=42\)，\(f(t)=28\)，其中\(s\)與\(t\)皆為實數，求\(s+t=\)　　　。
[解答]
我是用三次函數圖形對稱反曲點去做

微分易知 \( \displaystyle f''(-3) = 0 \)

\( \displaystyle f(x) = (x+3)^3 - 19(x+3) + 35 \)

\( \displaystyle (x+s)^3 - 19(x+s) = 42 - 35 = 7 \; , \; (x+t)^3 - 19(x+t) = 28 - 35 = -7 \)

\( \displaystyle s+t = 2 \times (-3) = -6 \)

作者: cut6997 時間: 2023-6-20 23:58 標題: 回覆 9# koeagle 的帖子

這當然沒有問題，但問題出在現在有3組s,t加起來會是-6
但如果挑不同組的話，那事情就大條了
雖然考場內能做出來的應該也就只有取同組的答案?

另外想請教第四題
條件變動後，如何證明a不為正整數時無解
有辦法證明3^(sqrt(a))一定不是正整數嗎?

最後，14題我是先算出對角線長後乘比例再用矩陣旋轉72度，然後就爆炸了。
雖然化簡後會一樣，但還是想請教如何得到瑋岳老師精簡的式子。

作者: peter0210 時間: 2023-6-21 09:48

14.
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(-4,2)\)，求\(C\)點坐標。

圖片附件: 14.png (2023-6-21 09:48, 22.95 KB) / 該附件被下載次數 793
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6773&k=24c763876fb65cebf1042d4cc56959c6&t=1732270508

作者: weiye 時間: 2023-6-21 10:17 標題: 回覆 10# cut6997 的帖子

第 14 題，
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(-4,2)\)，求\(C\)點坐標。
[解答]
設 \(\overline{OA}\) 的中點為 \(M(-2,1)\)，

因為 \(\vec{MC}\perp\vec{OM}\)，得「與 \(\vec{MC}\) 同方向且與 \(\vec{OM}=(-2,1)\) 等長的向量」為 \((1,2)\)

又 \(\triangle OMC\) 為 \(72^\circ-18^\circ-90^\circ\) 的直角三角形，得 \(\overline{MC} = \tan72^\circ \cdot \overline{OM}\)

\(\Rightarrow \vec{MC} = \tan72^\circ\cdot(1,2)\)

再來就是利用 \(\displaystyle \sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}\)（或也可以利用 \(\displaystyle \cos36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\) 及二倍角公式），

得 \(\displaystyle \tan72^\circ = \cot18^\circ = \sqrt{5+2\sqrt{2}}\) 。

作者: cut6997 時間: 2023-6-21 11:10

感謝peter老師的附圖和瑋岳老師的解說

作者: koeagle 時間: 2023-6-21 17:03 標題: 回覆 6# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師、peter0210 老師、瑋岳老師。

作者: bugmens 時間: 2023-7-1 10:21

1.
設\(a\)為正整數且\(1<a<10^5\)，若\(a\)的各位數字和為12，求這樣的\(a\)共有多少個？　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4642

2.
設\(A(0,1,2)\)，\(B(-1,2,1)\)，\(C(1,0,1)\)為空間中的三點，則\(\Delta ABC\)的垂心坐標為　　　。

設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。
(100台中二中，連結有提示，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid5684)

13.
設\(a\)為實數，以\(\displaystyle \left[a+\frac{19}{100}\right]+\left[a+\frac{20}{100}\right]+\ldots+\left[a+\frac{85}{100}\right]=500\)，求\(\left[100a\right]\)之值為多少？
(符號\(\left[x\right]\)為不超過\(x\)的最大整數)

Suppose \(r\) is a real number for which
\(\displaystyle \Bigg\lfloor\;r+\frac{19}{100}\Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\;r+\frac{20}{100}\Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\;r+\frac{21}{100}\Bigg\rfloor\;+\ldots+\Bigg\lfloor\;r+\frac{91}{100}\Bigg\rfloor\;=546\).
Find \(\lfloor\; 100r\rfloor\;\).(For real \(x\),\(\lfloor\; x\rfloor\;\)is the greatest integer less than or equal to \(x\).)
(1991AIME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_6)

若\(x\in R\)，定義\(\left[x\right]\)為高斯符號函數，已知方程式\(\left[x+0.19\right]+\left[x+0.20\right]+\left[x+0.21\right]+\ldots+\left[x+0.33\right]=115\)，試問\(\left[100x\right]=\)？
(A)776　(B)677　(C)777　(D)876
(97台南縣國中聯招)

作者: shihqua 時間: 2023-8-23 17:20

想詢問填充第四題答案是否與題目敘述衝突
找不到這樣的正整數ab

作者: thepiano 時間: 2023-8-24 11:37 標題: 回覆 16# shihqua 的帖子

題目有改過，參考一樓的說明

作者: shihqua 時間: 2023-8-24 17:10 標題: 回覆 17# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，沒注意到說明！

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