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標題: 112羅東高中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2023-5-29 18:52 標題: 112羅東高中

羅東高中112學年度第1次教師甄選
數學科測驗題型試題及答案

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作者: bugmens 時間: 2023-5-29 21:36

2.
將與110互質的所有正整數，從小到大排成數列，求此數列的第2023項。

將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
(103桃園高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251)

6.
求函數\(f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20}\)的最小值。
(88 全國高中數學競賽台北市，95 台中高農，96 彰師附工，97 文華高中)
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

8.
設\(a>0,b>0,c>0\)，試求\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}\)的最小值。
雖然送分，還是將相關題目列出來，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

作者: peter0210 時間: 2023-5-30 10:22

第四題
若\(\alpha\)為\(x^7-1=0\)之一虛根，求\(\alpha+\alpha^2+\alpha^4\)之值。
[解答]

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作者: Ellipse 時間: 2023-5-30 14:10

引用:

原帖由 peter0210 於 2023-5-30 10:22 發表
第四題

z*(z_bar) =(α+α^2+α^4)(α^6+α^5+α^3)
展開後再利用α^7=1,及α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6= -1
就可以得到2,不用再寫成三角函數

作者: peter0210 時間: 2023-5-30 14:42

第12題
如圖，四面體\(DABC\)的體積\(\displaystyle \frac{1}{6}\)，且\(\angle ACB=60^{\circ}\)，\(\displaystyle \overline{AD}+\sqrt{3}\cdot \overline{BC}+\frac{\overline{AC}}{2}=3\)，求\(\overline{CD}\)長。
[解答]

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作者: 吉米鮑伯 時間: 2023-6-5 11:05

填充11
已知方程式\(\displaystyle x-\frac{16}{2^x}=0\)恰有一實根\(\alpha\)，方程式\(2^x+x-4=0\)恰有一實根\(\beta\)，求\(\alpha+\beta\)之值。
[解答]
\(\alpha, \beta\) 分別為\(\cases{y = x \cr y = 2^{4-x}}\)和\(\cases{y = 4-x \cr y = 2^x}\)的交點\(x\)坐標
兩組方程式的圖形恰好對稱於\(x=2\)，\(\alpha+\beta = 4\)

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作者: 吉米鮑伯 時間: 2023-6-5 12:33

填充5
曲線\(C\)：\(y=x^5-x^4+k^2x^3-(k^2-k)x^2-(k+2)x+1\)，不論\(k\)為任何實數，曲線\(C\)恆過兩定點，求此兩定點的坐標。
[解答]
\(x^5-x^4+k^2x^3-(k^2 - k)x^2-(k+2)x+1\)(可看出必過\((0, 1)\))
\(=x^4(x-1)+k^2x^2(x-1)+kx(x-1)-2(x-1)-1\) (整理後發現必過\((1, -1)\))

作者: 吉米鮑伯 時間: 2023-6-5 14:36

填充10
已知四面體\(SABC\)，若底面\(\Delta ABC\)是以\(\overline{AB}\)為斜邊的等腰直角三角形，且\(\overline{SA}=\overline{SB}=\overline{SC}=1\)，\(\overline{AB}=1\)。假設\(S,A,B,C\)四點均在以點\(O\)為球心的某個球面上，求點\(O\)到平面\(ABC\)的距離。
[解答]
附上俯視圖+立體圖，剩下的看圖說故事吧！

113.3.9版主補充動畫

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作者: 吉米鮑伯 時間: 2023-6-5 15:22

填充9
求\(12x^6-28x^4-14x^3+17x^2-16x-67\cdot 6^5\)除以\(x-6\)的餘式。
[解答]
硬算算出來了，應該有更漂亮的方法

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作者: Ellipse 時間: 2023-6-5 21:03

引用:

原帖由 吉米鮑伯 於 2023-6-5 15:22 發表
填充9
硬算算出來了，應該有更漂亮的方法

求\(12x^6-28x^4-14x^3+17x^2-16x-67\cdot 6^5\)除以\(x-6\)的餘式。
[解答]
那個-67*6^5 移到左邊第二項(降冪排列)
題目改成12*x^6-67*x^5-28*x^4-14*x^3+17*x^2-16x
除以(x-6)的餘式,用綜合除法就變很好算

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