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標題: 112鳳山高中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2023-5-9 14:27 標題: 112鳳山高中

112鳳山高中數學科教甄試題及答案

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作者: bugmens 時間: 2023-5-9 15:44

4.
已知實數\(x,y\)滿足\(x+y=4\sqrt{x+2}+6\sqrt{y+1}\)，當\(x=\alpha\)、\(y=\beta\)時有最大值，求實數\(\alpha\)的值為　　　。

7.
設\([x]\)為不大於\(x\)的最大整數，試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1000}\right]\)的末位數字。

若\(n\)是大於\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\)的最小整數，試求\(n\)之值？
(100高師大附中代理，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841)

作者: cut6997 時間: 2023-5-9 19:18

想詢問第7題

我的做法為
補成[(3^0.5+2^0.5)^1000+(3^0.5-2^0.5)^1000]
展開為2(C(1000,0)3^500+...+C(1000,1000)2^500)
考慮
3的次方尾數為3,9,7,1
2的次方尾數為2,4,8,6
故4個一循環,500/4=125...0
取2(1+6)=14
4-1=3

請問是中間哪些項的個位數不是0嗎?

[ 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-9 19:40 編輯 ]

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作者: laylay 時間: 2023-5-9 20:18 標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] 易知答案是1
但是在C(1000,500)中，500=5^3×4, 501=500+1,...,625=500+125，625是5^4倍數，125只是5^3的倍數而就會造成C(1000,500)是5的倍數但非25的倍數。
令A=C(1000,r)=（1000/r)((1000-1)/1)((1000-2)/2).......((1000-(r-1))/(r-1))
當1000-r+1》625 ，即r《=375 時 A是5^？的倍數,就只需去看1000/r的表現即可。
但375《r《=500時，因分子有出現625,
625/375=5/3,就會在此多出一個5,請要注意，其他的5都會約分掉的，例如（1000-25）/25=39/1,（1000-75）/75=37/3,（1000-80）/80=23/2，由上述知道當r為偶數時就只有C(1000,250)=C(1000,750)這兩個是非5倍數，其餘都會是5的倍數。

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 07:48 編輯 ]

作者: cut6997 時間: 2023-5-9 20:27

引用:

原帖由 laylay 於 2023-5-9 20:18 發表
k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] ...

感謝老師解惑

作者: Ellipse 時間: 2023-5-9 23:44

一.填五
將右式寫成x-2多項式
令t=x-2,再因式分解

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-10 15:13 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2023-5-10 14:53 標題: 二.4

不妨設z最小=》z=1/(xy)<=1 => xy>=1
當y>=1時
左式-右式=x/y+xy^2+1/(x^2y)-x-y-1/(xy)
=((y^3-y+1)x^3-(y^2)x^2-x+1)/(x^2y)
其分母>0,其分子- 恆正或零的（x^2-1)(x-1）=x^2(y^2-1)(xy-1)>=0, 故分子>=0 =》左式>=右式(等號成立於x=1,y=1,z=1時)，
至於y<1的話再請大家思考了！

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 15:03 編輯 ]

作者: cut6997 時間: 2023-5-10 17:06

2-4強者我同事的做法

如果不進行代換，直接用原式
(x/y)*(x/y)*(y/z)=x^2/yz=x^3/xyz=x^3
也可以得到一樣的結果，可是因為xyz=1被藏了起來，會不容易看出來

[ 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-10 17:27 編輯 ]

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作者: chu 時間: 2023-5-11 00:08 標題: 填7

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作者: chu 時間: 2023-5-11 00:09 標題: 填9

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作者: chu 時間: 2023-5-11 00:11 標題: 填10

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作者: chu 時間: 2023-5-11 00:13 標題: 填12

用力算

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作者: thepiano 時間: 2023-5-11 07:46 標題: 回覆 12# chu 的帖子

填充第 12 題
圖中有小、中、大三種 “田” 字

從 A 經過 C 走到 D，有 3 * 3 種走法
從 A 不經過 C 走到 D，有 2 * 2 種走法
從小“田” 字的左下角 A 走到右上角 D 是 3 * 3 + 2 * 2 = 13 種走法

從中“田” 字的左下角走到右上角是 13 * 13 + 2 * 2 = 173 種走法

所求是從大“田” 字的左下角走到右上角是 173 * 173 + 2 * 2 = 29933 種走法

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作者: laylay 時間: 2023-5-11 11:15 標題: 填充9. 另解

當C在x軸上方時
令 t = AC斜率=y/(x+1)=tan(角A)
BC斜率=y/(x-2)=tan(180度-2角A)=-2t/(1-t^2)=-2y/(x+1)/(1-y^2/(x+1)^2)=-2y(x+1)/((x+1)^2-y^2)
1/(x-2)=-2(x+1)/((x+1)^2-y^2) => x^2-y^2/3=1 , x>1 (角B>角A=> CA>CB,C在AB中垂線x=1/2之右,故C只在雙曲線的右支,右頂點(1,0))
當C在x軸下方時,C之軌跡圖形與上述圖形對稱x軸,故答案依舊如上
當角A趨近於零度時 , CA:CB=sin(2角A):sin(角A)=2sin(角A)cos(角A):sin(角A)=2cos(角A):1 趨近於 2:1,此時 C趨近於右頂點(1,0)

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-11 12:25 編輯 ]

作者: koeagle 時間: 2023-5-11 20:04

想請教填充8、填充14，謝謝。

作者: tsusy 時間: 2023-5-11 20:38

填充 8. 在已知抽出3張牌皆為紅心的條件下，
其餘 49 牌為遺失的機率均等，均為 \( \frac{2}{49} \)
故所求 \( \frac{2}{49} \times 10 = \frac{20}{49} \)

作者: tsusy 時間: 2023-5-11 21:00 標題: 回覆 15# koeagle 的帖子

填充 14.
令直線 \( L \) 為 \( \frac{x-2}{2021}=\frac{y-3}{2022}=\frac{z+4}{2023} \) 為一平行於 \( L_k \) 之直線

故 \( L \) 上的 \( P \) 到 \( L_k \) 的距離 \( d_k \)、 \( L_k \) 上一點 \( (k,k,k) \) 到 \( L \) 的距離均為兩平行線間的距離。

而 \( (k,k,k) \) 為直線 \( M: x=y=z \) 上的動點，故所求 \( d_k \) 的最小值即為 \( M \) 和 \( L \) 兩歪線線距離。

外歪線距離(外積、構造平行平面、點面距) 計算可得 \( \frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{4}{3} \sqrt{6} \)

作者: CYC 時間: 2023-5-11 22:53

想問問版上老師
填充13這樣子做會錯在哪裡

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作者: koeagle 時間: 2023-5-11 23:00 標題: 回覆 17# tsusy 的帖子

謝謝 tsusy 老師。

作者: cut6997 時間: 2023-5-11 23:17 標題: 回覆 18# CYC 的帖子

做垂直a且通過a的直線，與垂直b且通過b的直線,求交點與c內積
第2步兩邊要分開取
0.5x<ybc<1+0.5x
=>0<ybc<1.5

[ 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-11 23:39 編輯 ]

作者: CYC 時間: 2023-5-12 06:31 標題: 回覆 20# cut6997 的帖子

謝謝老師回覆，補上修正的版本

第一步最後面筆誤 0<=1/2x<=1/2

[ 本帖最後由 CYC 於 2023-5-14 11:18 編輯 ]

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作者: laylay 時間: 2023-5-12 08:49 標題: 回覆 15# koeagle 的帖子

填充14.
由直線系的參數式x=k+2021t,y=k+2022t,z=k+2023t.
知道所有直線剛好編織成平面E:x+z=2y
故所求=P至E的距離=|2-6-4|/根號6

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-12 08:54 編輯 ]

作者: koeagle 時間: 2023-5-12 13:25 標題: 回覆 22# laylay 的帖子

謝謝 laylay 老師。

作者: jerryborg123 時間: 2023-5-13 23:22 標題: 請教填充4

請教填充4

作者: cut6997 時間: 2023-5-14 01:19 標題: 回覆 24# jerryborg123 的帖子

x'=x+2
y'=y+1
=>(x'^0.5-2)^2+(y'^0.5-3)^2=16
x'+y'最大=(x'^0.5)^2+(y'^0.5)^2最大=(2^2+3^2)^0.5+4
成比例、畢氏定理、換變數即可

作者: laylay 時間: 2023-5-15 10:10 標題: 填充5.

令 k=x-2 , x=k+2 , 原式 => k^6-k^3-5k^2-13k-10<0 有 -1,2 的根 => (k+1)(k-2)(k^4+k^3+3K^2+4k+5)<0
令 f(k)=k^4+k^3+3K^2+4k+5 , f`=4k^3+3K^2+6k+4 , f``=12k^2+6k+4 , D=6^2-4*12*4<0 => f`` 恆正 => f` 遞增
f`(-1)=-3<0,f`(0)=4>0 , f(k)的最小值發生在 f`(k)=0 => -1<k<0 , 此時 f(k)>5+4k+k^3>5-4-1=0 顯示 f(k) 恆正
故原式 =>(k+1)(k-2)<0 => -1<k<2 => 1<x<4

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-15 10:13 編輯 ]

作者: piaxiom 時間: 2023-5-15 15:09

填充5.(另解)  (x-2)^6  + (x-2)^2 < x^3 + x . 令 y=(x-2)^2 , f(x)=x^3 + x

  注意到 f 為嚴格遞增， f(y) < f(x)  <=>  y < x  即 (x-2)^2 < x
  <=> 1 < x < 4.

[ 本帖最後由 piaxiom 於 2023-5-15 15:12 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2023-5-15 16:57 標題: 填充1.

所求=2022*(1-1/2023)^3
=2022*(1-3/2023+3/2023^2-1/2023^3)接近 2022-3=2019 (計算機按出 2019.00296)

作者: laylay 時間: 2023-5-15 17:40 標題: 填充3.

設 AB=3t,AC=t , 3t+t>4,3t-t<4 => 1<t<2 , 周長之半=(3t+t+4)/2=2t+2,令k=t^2
則面積=ㄏ((2t+2)(2t+2-3t)(2t+2-t)(2t+2-4))=2ㄏ((k-1)(4-k))<=2*((k-1)+(4-k))/2=3 ,
故面積最大值=3 ,此時 t=ㄏk=ㄏ(5/2)

作者: fierthe 時間: 2023-5-17 21:13

填充 3

用阿波羅尼斯圓的作法會非常簡潔

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作者: fierthe 時間: 2023-5-17 23:39

填充 13

用圖解的方式說明

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